Offene Menge/Triviales Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Spaltung/Christoffelsymbole/Bemerkung

Mit ${}E$ trivial auf ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ vom Rang ${}r$ ist

${}T(U\times \mathbb {R} ^{r})=U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und dem Vertikalbündel

${}VE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r}\subseteq TE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und gegebenen Funktionen ${}\Gamma _{ij}^{k}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ wird eine vertikale Projektion (die zur Spaltung des Tangentialbündels ${}TE$ und damit zu einem Zusammenhang äquivalent ist) durch

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i,j}v_{i}u_{j}\Gamma _{ij}^{k}(P)\right)}e_{k}+w),$

gegeben. Speziell ist

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w).$

Die zugehörige vertikale Ableitung

$U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$

schickt

$P\longmapsto (P,\partial _{i})\longmapsto (P,e_{j},\partial _{i},0)\longmapsto \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}.$

Man erhält also die definierende Eigenschaft der Christoffelsymbole zurück.