Beide Zusammenhänge sind linear, daher genügt es, die Gleichheit der zugehörigen
vertikalen Ableitungen
lokal für Basisfelder zu zeigen. Sei
offen
und
-
eine lokale zweifach stetig differenzierbare Parametrisierung einer offenen Teilmenge
.
Es seien die beiden konstanten Richtungsfelder auf . Für den
Levi-Civita-Zusammenhang ist
-
wobei die Christoffelsymbole unter Bezug auf
-
definiert sind. Nach
Fakt
erfüllen diese Christoffelsymbole auch die Bedingungen
-
wobei das
Einheitsnormalenfeld
bezeichnet und die Einträge aus der
zweiten Fundamentalmatrix
sind
(alles aufgefasst auf ).
Die Vektorfelder auf entsprechen auf
den Vektorfeldern . Nach Definition der
vertikalen Ableitung
zu dem eingeschränkten Zusammenhang muss man
-
betrachten und dies ergibt die orthogonale Projektion von auf das Tangentialbündel an , was mit , aufgefasst über , übereinstimmt
(siehe hierzu auch
Aufgabe).