Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\gamma} {I} {\R^2
} {}
eine zweifach stetig differenzierbare
\definitionsverweis {bogenparametrisierte Kurve}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {\delta} {-I } {\R^2
} {s} { \delta(s) = \gamma( -s)
} {,}
die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
von $\delta$ in $s$ das Negative der Krümmung von
\mathl{\gamma}{} in $-s$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\gamma} {I} {\R^2
} {}
eine zweifach stetig differenzierbare
\definitionsverweis {bogenparametrisierte Kurve}{}{}
und
\maabbdisp {L} {\R^2} {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {Drehung}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
von $\gamma$ mit der Krümmung von
\mathl{L\circ \gamma}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 3.6 im nichtstandardorientierten Fall.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\gamma} {I} {\R^2
} {}
eine zweifach stetig differenzierbare
\definitionsverweis {bogenparametrisierte Kurve}{}{}
und
\maabbdisp {L} {\R^2} {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
mit dem Streckungsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In welcher Beziehung steht die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
von $\gamma$ mit der Krümmung von
\mathl{L\circ \gamma}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {\R} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos \left( \omega t \right) \\ \sin \left( \omega t \right) \end{pmatrix}
} {,}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe ist wichtig für den Bau von Karussellen. Der Spaß beim Karussellfahren kommt von der Beschleunigung, nicht von der Geschwindigkeit.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {\R} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos \left( \omega t \right) \\ \sin \left( \omega t \right) \end{pmatrix}
} {,}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {\R} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos \left( \omega t \right) \\ \sin \left( \omega t \right) \end{pmatrix}
} {,}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit $\gamma$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ \subseteq }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabb {h} {W} { \R
} {}
eine zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ h^{-1}(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $h$ in jedem Punkt von $Y$
\definitionsverweis {regulär}{}{}
sei. Zeige, dass
\maabbdisp {\gamma} {I} {Y
} {}
genau dann eine
\definitionsverweis {geodätische Kurve}{}{}
ist, wenn $\gamma$
\definitionsverweis {bogenparametrisiert}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Euler spiral.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Euler spiral.svg } {} {AdiJapan} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
\zusatzklammer {die sogenannte \stichwort {Klothoide} {}} {} {}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} { \gamma(t)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma(t)
}
{ =} { \sqrt{\pi} \int_0^t \begin{pmatrix} \cos { \frac{ \pi s^2 }{ 2 } } \\ \sin { \frac{ \pi s^2 }{ 2 } } \end{pmatrix} ds
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
dieser Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \kappa(t)
}
{ =} { t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {I} {\R } {} eine zweifach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion. Bestimme die \definitionsverweis {Krümmung}{}{} und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
zweifach
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha(t)
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} \cos f(t) \\ \sin f(t) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
von $\alpha$ und den
\definitionsverweis {Krümmungskreis}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit den Formeln aus
Lemma 3.10.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
von
\maabbdisp {\sin} {\R} {\R
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
der logarithmischen Spirale
\maabbeledisp {\gamma} {\R} { \R^2
} {t} { \gamma(t) = e^t \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Eine Funktion
\maabb {f} {I} {\R
} {}
auf einem offenen Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {analytisch}{,}
wenn sie in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch eine
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
beschrieben werden kann.
Eine Kurve heißt analytisch, wenn jede Komponentenfunktion analytisch ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {\kappa} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {analytische Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine analytische Kurve \maabb {\gamma} {I} {\R^2 } {} gibt, deren \definitionsverweis {Krümmung}{}{} im Punkt $\gamma(t)$ gleich $\kappa(t)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Evolute-parab.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Evolute-parab.svg } {} {Ag2gaeh} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Bestimme die \definitionsverweis {Evolute}{}{} der Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \begin{pmatrix} t \\ t^2 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
in jedem Punkt des durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y)
}
{ =} { x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
implizit gegebenen Einheitskreises mit
Lemma 3.11
und dem Gradientenfeld zu $h$.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der Exponentialfunktion
\maabbdisp {\exp} {\R} {\R
} {}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
der archimedischen Spirale
\maabbeledisp {\gamma} {\R} { \R^2
} {t} { \gamma(t) = t \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {,}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve
\maabbdisp {\gamma} {\R} {\R^2
} {}
derart, dass für zwei Zeitpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0
}
{ \neq }{ t_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma (t_0)
}
{ = }{ \gamma(t_1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt und derart, dass die
\definitionsverweis {Krümmungskreise}{}{}
zu
\mathkor {} {t_0} {und} {t_1} {}
nicht übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Evolute}{}{} der Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \begin{pmatrix} 2 \cos t \\ 3 \sin t \end{pmatrix} } {.} In welchen Punkten hat die Ableitung der Evolute Nullstellen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Krümmung}{}{}
des durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(x,y)
}
{ =} { x^4+y^4
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
implizit gegebenen Einheitskreises mit
Lemma 3.11
und dem Gradientenfeld zu $h$ in den folgenden Punkten.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ = }{ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ \sqrt[4]{2} } } \\ { \frac{ 1 }{ \sqrt[4]{2} } } \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}