Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 3
- Übungsaufgaben
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und es sei
die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die Krümmung von in das Negative der Krümmung von in ist.
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und
eine Drehung. Zeige, dass die Krümmung von mit der Krümmung von übereinstimmt.
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und
eine Streckung mit dem Streckungsfaktor . In welcher Beziehung steht die Krümmung von mit der Krümmung von ?
Es sei
mit einem . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.
Die folgende Aufgabe ist wichtig für den Bau von Karussellen. Der Spaß beim Karussellfahren kommt von der Beschleunigung, nicht von der Geschwindigkeit.
Es sei
mit einem . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.
Es sei
mit einem . Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.
Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Zeige, dass
genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn bogenparametrisiert ist.
Wir betrachten die differenzierbare Kurve (die sogenannte Klothoide)
mit
Zeige, dass die Krümmung dieser Kurve die Gleichung
erfüllt.
Es sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Bestimme die Krümmung und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.
Es sei zweifach stetig differenzierbar und
Bestimme die Krümmung von und den Krümmungskreis für mit den Formeln aus Lemma 3.10.
Eine Funktion auf einem offenen Intervall heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.
Eine Kurve heißt analytisch, wenn jede Komponentenfunktion analytisch ist.
Es sei eine analytische Funktion. Zeige, dass es eine analytische Kurve gibt, deren Krümmung im Punkt gleich ist.
Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch
implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve
derart, dass für zwei Zeitpunkte die Gleichheit gilt und derart, dass die Krümmungskreise zu und nicht übereinstimmen.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Krümmung des durch
implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu in den folgenden Punkten.
- ,
- .
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