Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 3



Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und es sei

die umgekehrt durchlaufene Kurve. Zeige, dass die Krümmung von in das Negative der Krümmung von in ist.


Aufgabe

Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

eine Drehung. Zeige, dass die Krümmung von mit der Krümmung von übereinstimmt.


Aufgabe

Beweise Lemma 3.6 im nichtstandardorientierten Fall.


Aufgabe

Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und

eine Streckung mit dem Streckungsfaktor . In welcher Beziehung steht die Krümmung von mit der Krümmung von ?


Aufgabe

Es sei

mit einem . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für bis zur ersten Ableitung übereinstimmen.


Die folgende Aufgabe ist wichtig für den Bau von Karussellen. Der Spaß beim Karussellfahren kommt von der Beschleunigung, nicht von der Geschwindigkeit.

Aufgabe

Es sei

mit einem . Man zeige, dass es unendlich viele Kreisbewegungen mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für übereinstimmen und auch dort die gleiche Beschleunigung haben.


Aufgabe *

Es sei

mit einem . Man zeige, dass es keine andere Kreisbewegung mit konstanter Geschwindigkeitsnorm gibt, die mit für bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Zeige, dass

genau dann eine geodätische Kurve ist, wenn bogenparametrisiert ist.


Aufgabe

Wir betrachten die differenzierbare Kurve (die sogenannte Klothoide)

mit

Zeige, dass die Krümmung dieser Kurve die Gleichung

erfüllt.


Aufgabe

Es sei eine zweifach stetig differenzierbare Funktion. Bestimme die Krümmung und den Krümmungskreis des zugehörigen Graphen.


Aufgabe

Es sei zweifach stetig differenzierbar und

Bestimme die Krümmung von und den Krümmungskreis für mit den Formeln aus Lemma 3.10.


Aufgabe

Bestimme die Krümmung des Graphen von

für .


Aufgabe

Bestimme die Krümmung der logarithmischen Spirale

für jedes .


Eine Funktion auf einem offenen Intervall heißt analytisch, wenn sie in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben werden kann.


Eine Kurve heißt analytisch, wenn jede Komponentenfunktion analytisch ist.

Aufgabe

Es sei eine analytische Funktion. Zeige, dass es eine analytische Kurve gibt, deren Krümmung im Punkt gleich ist.


Aufgabe

Bestimme die Evolute der Kurve


Aufgabe *

Bestimme die Krümmung in jedem Punkt des durch

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Krümmung des Graphen der Exponentialfunktion

für jedes .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Krümmung der archimedischen Spirale

für jedes .


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve

derart, dass für zwei Zeitpunkte die Gleichheit gilt und derart, dass die Krümmungskreise zu und nicht übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Evolute der Kurve

In welchen Punkten hat die Ableitung der Evolute Nullstellen?


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Krümmung des durch

implizit gegebenen Einheitskreises mit Lemma 3.11 und dem Gradientenfeld zu in den folgenden Punkten.

  1. ,
  2. .




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