Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 3



Krümmung von bogenparametrisierten Kurven

Eine differenzierbare Kurve

heißt bogenparametrisiert, wenn für alle gilt.

Nach Aufgabe 2.3 besitzt eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve die Eigenschaft, dass die zweite Ableitung stets senkrecht auf der ersten Ableitung steht.

Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare Kurve und . Eine naheliegende Möglichkeiten, das Verhalten der Kurve im Punkt bzw. über die Tangente hinaus zu approximieren besteht darin, einen Kreis anzugeben, der sich an die Kurve besonders gut anschmiegt, bzw. eine Kreisbewegung anzugeben, die bis zur zweiten Ableitung mit der Kurve übereinstimmt. Die Kurve sei bogenparametrisiert.


Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und , wobei die zweite Ableitung nicht sei. Dann nennt man den Kreis mit dem Radius

und dem Mittelpunkt

den Krümmungskreis zu in .


Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und . Dann nennt man

die Krümmung der Kurve in .

Statt Krümmungskreis sagt man auch Schmiegkreis. Da im bogenparametrisierten Fall und senkrecht aufeinander stehen und die zweite Ableitung nicht ist, bilden diese Vektoren eine Basis des und daher ist ihre Determinante, die ja als Nenner in der Definition des Krümmungskreises auftritt, nicht . Wenn diese Determinante (und damit die Krümmung) positiv ist, so repräsentiert diese Basis die Standardorientierung (also die Orientierung, die durch die Standardvektoren und ) gegeben ist, andernfalls die Gegenorientierung. Bei positiver Krümmung wird die Bewegung (von der tangentialen Richtung aus gesehen) nach links abgelenkt, bei negativer Krümmung nach rechts. Bei positiver Krümmung kann man den Mittelpunkt des Krümmungskreises als

und bei negativer Krümmung als

beschreiben. Gemäß Aufgabe 3.1 besitzt die umgekehrt durchlaufene Kurve die negierte Krümmung. Gelegentlich werden wir auch von der Krümmung der Kurve im Punkt sprechen, was bei einer Kurve, die injektiv ist oder allenfalls periodisch mehrfach durchlaufen wird, unproblematisch ist.


Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also

Es ist

und

Die Krümmung zu jedem Zeitpunkt ist

der Krümmungsradius ist und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist

der Krümmungskreis ist also stets der Einheitskreis.

Wenn man den Kreis mit dem Uhrzeigersinn durchläuft, also die Kurve

betrachtet, so ist die Krümmung gleich , Krümmungsradius und Krümmungskreis sind wie zuvor.


Die Definition des Krümmungskreises kann man bereits dann verwenden, wenn die Norm (also nur für ) besitzt, ohne dass eine bogenparametrisierte Kurve vorliegt, wenn man fordert, dass und linear unabhängig sind. Wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind, so sagt man auch, dass der Krümmungsradius unendlich ist.


Wir betrachten die Standardparabel als Kurve

im Nullpunkt . Es ist

Dies ist im Allgemeinen nicht bogenparametrisiert, im Nullpunkt aber schon. Die zweite Ableitung ist

unabhängig vom Zeitpunkt. Daher ist der Krümmungsradius gleich

und der Mittelpunkt des Krümmungskreises ist .




Es sei

eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve und mit

mit dem Krümmungskreis mit Mittelpunkt und Radius . Wenn die Standardorientierung repräsentiert, so sei derart, dass

Wenn nicht die Standardorientierung repräsentiert, so sei derart, dass

Dann ist (im standardorientierten Fall)

bzw. (im nichtstandardorientierten Fall)

eine bogenparametrisierte Bewegung auf dem Krümmungskreis, die in mit bis zur zweiten Ableitung übereinstimmt.

Wir betrachten den standardorientierten Fall. Es ist

Ferner ist

insbesondere ist bogenparametrisiert. Es steht senkrecht auf und ist daher linear abhängig zu dem Orthonormalvektor . Somit ist

und daher


Die folgende Aussage zeigt, dass man jeden gewünschten Krümmungsverlauf durch eine Kurve realisieren kann.


Es sei ein Intervall, und

eine differenzierbare Funktion. Es sei

Dann gelten folgende Aussagen.
  1. Es ist
  2. Es ist
  3. ist eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte ebene Kurve.

  4. Es ist
  5. Die Krümmung ist

(1) ist klar. (2) ergibt sich direkt aus dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Damit sind auch (3) und (4) klar, wobei sich die Bogenparametrisierung aus ergibt. (5). Für die Krümmung ist



Es sei eine zweifach stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve.

Dann ist die Krümmung von in gleich

wobei

ein Einheitsnormalenvektor in ist.

Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Definition

Aus

folgt

daher steht senkrecht auf und ist linear abhängig zu . Somit ist

und somit ist


In der vorstehenden Aussage ist das Vorzeichen positiv, wenn die Kurve positiv gekrümmt ist, andernfalls negativ. Entscheidend ist nicht die explizite Beschreibung des Einheitsnormalenfeldes, sondern ob der Tangentenvektor und der Einheitsnormalenvektor die Standardorientierung repräsentiert oder nicht.

Wir erwähnen noch die folgende Definition.


Es sei eine zweifach stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Dann nennt man die Abbildung

die auf den Mittelpunkt des Krümmungskreises zu in abbildet, die Evolute zu .



Krümmung von Kurven allgemein

Wir besprechen die Krümmung von ebenen Kurven, die nicht notwendigerweise bogenparametrisiert sind und von implizit gegebenen ebenen Kurven. Zu einer zweifach stetig differenzierbaren Kurve

mit für alle und einem fixierten Punkt ist

nach Satz 38.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die Bogenlänge von zwischen und . Die Zuordnung

ist dabei streng wachsend und stetig differenzierbar. Es sei das Bildintervall, die Umkehrfunktion zu und . Dann ist unter Verwendung von Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Satz 24.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

was bedeutet, dass bogenparametrisiert ist. Den Übergang von zu nennt man Bogenparametrisierung, dabei wird die Bildkurve nicht geändert, nur die Geschwindigkeit, mit der sie durchlaufen wird. Es liegt das kommutative Diagramm

vor.



Es sei eine zweimal stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Es sei

Dann ist die Krümmung der zugehörigen bogenparametrisierten Kurve gleich

Wegen

stimmen die beiden Terme überein. Es sei

mit einer Umparametrisierung und der bogenparametrisierten Kurve . Dann ist


Im Fall einer implizit gegebenen Kurve und einem Punkt schreiben wir auch statt , wenn eine Bogenparametrisierung der Kurve mit vorliegt.



Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei

ein auf einer offenen Umgebung definiertes Einheitsnormalenfeld zu und sei .

Dann ist für jeden tangentialen Vektor

wobei die Krümmung einer Bogenparametrisierung von ist, die mit der durch gegebenen Orientierung übereinstimmt.

Es sei eine Bogenparametrisierung der Kurve in einer Umgebung von mit , die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential

ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor zu zeigen. Nach der Kettenregel ist

Dieser Vektor ist ein Vielfaches von und daher ist dies gleich

Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist

für alle und daher

Also ist

nach Lemma 3.8.



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