Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 4
- Übungsaufgaben
Es sei eine Linearform und die zugehörige Hyperebene. Zeige, dass die Weingartenabbildung die Nullabbildung ist.
Es sei
der sogenannte Standardkegel und sei . Es sei
Bestimme
wobei das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von sei.
Es sei
der sogenannte Standardzylinder und sei . Es sei
Bestimme
wobei das Einheitsnormalenvektorfeld zum Gradienten von sei.
Es sei
und sei ein Punkt. Zeige, dass die Weingartenabbildung nicht bijektiv, aber auch nicht die Nullabbildung ist.
Zeige, dass eine differenzierbare Fläche eine Gerade enthalten kann, die, aufgefasst im Tangentialraum für einen Punkt , nicht zum Kern der Weingartenabbildung gehören muss.
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Wir fassen auch als eine Abbildung auf auf, wobei die hinteren Variablen nicht explizit in eingehen. Es sei
Es sei ein Punkt über . In welcher Beziehung stehen die Weingartenabbildungen und ?
Bestimme für den Graphen der Funktion
die Weingartenabbildung für jeden Punkt
Bestimme die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für .
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine lineare Isometrie, und
Zeige, dass sich die Weingartenabbildung zu und die Weingartenabbildung zu entsprechen, wenn man mit Hilfe von die Tangentialräume und miteinander in Beziehung setzt.
Bestimme für die durch
gegebene Fläche und den Punkt
eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .
Es sei offen, eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Wie ändert sich die Weingartenabbildung und wie die zugehörigen Eigenräume, wenn man von einer Orientierung von zur entgegengesetzten Orientierung wechselt?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme in Beispiel 4.5 die beschreibende Matrix für die Weingartenabbildung für Punkte der Form bezüglich der Basis und des Tangentialraumes. Bestimme die Eigenwerte und eine Basis aus Eigenvektoren.
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme für die durch
gegebene Fläche und den Punkt
eine Diagonalmatrix für die Weingartenabbildung .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme für die durch
gegebene Hyperfläche und den Punkt
eine Matrix für die Weingartenabbildung bezüglich einer geeigneten Basis des Tangentialraumes .
Aufgabe (6 Punkte)
Bestimme für den Graphen der Funktion
die Weingartenabbildung für die Punkte , , . Bestimme jeweils die Eigenwerte, die Eigenvektoren und eine Diagonalmatrix für .
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