Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 5

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei

${}f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt.

Aufgabe

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen für jeden Punkt des Graphen zu

$f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy\,.$

Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt. Berechne ferner die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen.

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+eyz\,.$

Berechne das charakteristische Polynom der Weingartenabbildung des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt. Wie schwierig ist es in diesem Fall, die Hauptkrümmungen zu bestimmen?

Aufgabe

Es sei

${}f(x,y)=x^{2}+y^{3}\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu ${}f$ für jeden Punkt ${}P=(Q,f(Q))$, ${}Q\in \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ offen und sei ${}f\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige, dass die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu ${}f$ in einem Punkt ${}P=(Q,f(Q))$ nur von den ersten und den zweiten partiellen Ableitungen von ${}f$ in ${}Q$ abhängen.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Wir fassen ${}h$ auch als eine Abbildung ${}{\tilde {h}}$ auf ${}W\times \mathbb {R} ^{m}$ auf, wobei die hinteren ${}m$ Variablen nicht explizit in ${}{\tilde {h}}$ eingehen. Es sei

${}Z={\tilde {h}}^{-1}(c)=Y\times \mathbb {R} ^{m}\subseteq W\times \mathbb {R} ^{m}\,.$

Es sei ${}Q\in Z$ ein Punkt über ${}P\in Y$. In welcher Beziehung stehen die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen von ${}Z$ in ${}Q$ und von ${}Y$ in ${}P$.

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Zu einem Punkt ${}P\in Y$ nennt man die Determinante der Weingartenabbildung ${}L_{P}$ die Gauß-Kronecker-Krümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Die Gauß-Kronecker-Krümmung ist eine direkte Verallgemeinerung der Gaußkrümmung.

Aufgabe

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Zeige, dass das Produkt der Hauptkrümmungen von ${}Y$ in ${}P$ gleich der Gauß-Kronecker-Krümmung von ${}Y$ in ${}P$ ist.

Aufgabe

Es sei

${}h(x,y,z,w)=x^{2}+y^{3}+z^{4}+w^{5}\,$

und ${}Y=h^{-1}(1)$. Bestimme für den Punkt

${}P=\left(1,\,-1,\,1,\,0\right)\in Y\,$

die Weingartenabbildung ${}L_{P}$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Aufgabe

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{3}+z^{5}\,$

auf ${}W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ und ${}Y=h^{-1}(0)$. Bestimme die Normalkrümmung im Punkt ${}P={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ in Richtung des normierten Tangentialvektors ${}{\frac {1}{\sqrt {29}}}{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=x^{3}+x^{2}y+3xy^{2}-y^{4}\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen, die Hauptkrümmungsrichtungen und die Gaußkrümmung des Graphen zu ${}f$ für jeden Punkt ${}P=(Q,f(Q))$, ${}Q\in \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}f(x,y,z)=-7x^{2}+3y^{2}-5z^{2}+6xy\,.$

Bestimme die Hauptkrümmungen und die Hauptkrümmungsrichtungen des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei

${}h(x,y,z,w)=x^{2}+yz+z^{3}+xyzw\,$

und ${}Y=h^{-1}(2)$. Bestimme für den Punkt

${}P=\left(1,\,1,\,1,\,-1\right)\in Y\,$

die Weingartenabbildung ${}L_{P}$, ihr charakteristisches Polynom und die Gauß-Kronecker-Krümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Tipp: Löse die Gleichung nach einer geeigneten Variablen auf und behandle die Hyperfläche als einen Graphen in den anderen Variablen.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}\,$

auf ${}W=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{0\}$ und ${}Y=h^{-1}(0)$. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}1\\1\\-{\sqrt[{3}]{2}}\end{pmatrix}}\in Y$ und

${}v={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}\in T_{P}Y\,.$

1. Bestimme eine Ebenengleichung für die Normalebene zu ${}v$.
2. Bestimme die Normalkrümmung in ${}P$ in Richtung des normierten Tangentialvektors ${}{\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$.
3. Bestimme eine bogenparametrisierte Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow Y$

   mit ${}\gamma (0)=P$, ${}\gamma '(0)={\frac {v}{\Vert {v}\Vert }}$. Bestätige Satz 5.14 in dieser Situation.

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere eine differenzierbare Fläche ${}Y$ im Raum und eine Normalebene ${}E$, deren Durchschnitt mit der Fläche eine Kurve ergibt, die nicht überall regulär ist.