Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Arbeitsblatt 2
- Übungsaufgaben
Es seien
differenzierbare Kurven. Berechne die Ableitung der Funktion
Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
Es sei eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass bei die Gleichheit
gilt.
Es sei eine zweimal stetig differenzierbare bogenparametrisierte Kurve. Zeige, dass und aufeinander senkrecht stehen.
Es sei ein Punkt und sei . Wir betrachten die Menge
Wir nennen zwei Kurven tangential äquivalent, wenn
ist.
a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
b) Finde den einfachsten Vertreter für die Äquivalenzklassen.
c) Man gebe für jede Klasse einen weiteren Vertreter an.
d) Beschreibe die Menge der Äquivalenzklassen (also die Quotientenmenge).
Man gebe ein Beispiel für eine (überall reguläre) differenzierbare Hyperfläche, die nicht zusammenhängend ist.
Es sei eine offene Menge und sei
eine stetig differenzierbare Funktion, wir betrachten den Graphen zu als differenzierbare Hyperfläche in im Sinne von Beispiel 1.2. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.
Es seien und positive reelle Zahlen mit . Bestimme ein Einheitsnormalenfeld für den (eingebetteten) Torus
Es sei
eine differenzierbare Funktion und sei die zugehörige Rotationsfläche zum Graphen von als differenzierbare Hyperfläche in im Sinne von Lemma 2.1. Bestimme die Einheitsnormalenfelder in diesem Fall.
Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Hyperebene konstant ist. Gilt davon auch die Umkehrung?
Zeige, dass die Gauß-Abbildung auf einer Sphäre im mit dem Ursprung als Mittelpunkt durch eine Streckung des induziert wird.
Es sei eine differenzierbare Hyperfläche mit dem Einheitsnormalenfeld und dem entgegengesetzten Einheitsnormalenfeld . Zeige, dass sich die zugehörigen Gauß-Abbildungen um die Antipodenabbildung
unterscheiden.
Es seien und sei
- Bestimme die Gauß-Abbildung zu .
- Man gebe zur Gauß-Abbildung zu explizit eine Umkehrabbildung an.
Man gebe ein Beispiel für eine differenzierbare Hyperfläche derart, dass die Gauß-Abbildung surjektiv ist und dass es Punkte auf gibt, die unendlich oft angenommen werden.
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine lineare Isometrie, und
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf und auf entsprechen (also mit Hilfe von ineinander überführt werden können).
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Bild unter der Gauß-Abbildung zur Standardparabel mit der nach oben gerichteten Orientierung.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei und sei die Nullstellenmenge zu
Bestimme das Bild von (mit der durch den Gradienten von gegebenen Orientierung) unter der Gauß-Abbildung.
Aufgabe (5 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei offen, eine stetig differenzierbare Funktion und die Faser zu , wobei in jedem Punkt von regulär sei. Es sei
eine lineare Isomorphie, und
Zeige, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf und auf im Allgemeinen nicht entsprechen (im Gegensatz zu Aufgabe 2.14, wo eine Isometrie vorliegt).
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