Kurs:Diskrete Mathematik/12/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	7	6	1	3	0	0	3	3	0	2	0	9	0	0	0	47

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Anzahl der Tripel ${}(i,j,k)\in \mathbb {N} ^{3}$ mit

{}i+j+k=5\,.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien ${}A\subseteq M$ und ${}B\subseteq N$ Teilmengen. Zeige die Gleichheit

{}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von fixpunktfreien Permutationen.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) ${}B_{n}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , durch ${}B_{0}=1$ und für ${}n\geq 1$ durch die rekursive Bedingung

{}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,.

Berechne ${}B_{1}$ .
Berechne ${}B_{2}$ .
Berechne ${}B_{3}$ .
Berechne ${}B_{4}$ .
Zeige, dass alle ${}B_{n}$ rationale Zahlen sind.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zu jedem ${}f\in R$ sei

\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,

die Multiplikation mit ${}f$ . Zeige, dass ${}\mu _{f}$ genau dann bijektiv ist, wenn es surjektiv ist.

Man zeige durch ein Beispiel, dass in dieser Situation aus der Injektivität nicht die Bijektivität folgt.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe. Zeige, dass eine ganze Zahl ${}t$ genau dann ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist, wenn ${}H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und dass ${}t$ genau dann ein größter gemeinsamer Teiler ist, wenn ${}H=\mathbb {Z} t$ ist.