Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2/latex

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\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bundesarchiv_Bild_183-10308-0006,_Calbe,_DS-Sportschule,_Lehrgang_für_Sportler.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Bundesarchiv Bild 183-10308-0006, Calbe, DS-Sportschule, Lehrgang für Sportler.jpg } {} {} {Deutsches Bundesarchiv} {} {Bild 183-10308-0006}

Wir beginnen mit ein paar Aufwärmaufgaben, die nicht abzugeben sind.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ ist genau dann eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man bringe für die Symmetrien am Würfel die Begriffe \anfuehrung{Drehachse}{,} \anfuehrung{Eigenvektor}{} und \anfuehrung{Eigenwert}{} in Verbindung. Welche Eigenwerte können auftreten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids $M$ und eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass alle positiven Potenzen von $m$ vom neutralen Element verschieden sind.

}
{} {}

Es folgen die Aufgaben, die man abgeben darf.


\inputaufgabe
{3}
{

Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ ein endliches \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Es gelte die folgende \anfuehrung{Kürzungsregel}{}: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ax }
{ = }{ ay }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} in der jedes Element die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement $g$ gilt
\mathl{g^2 = e}{.} Zeige, dass die Gruppe $G$ dann \definitionsverweis {abelsch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $M$ eine Menge mit einer \definitionsverweis {assoziativen}{}{} \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.} Es gebe ein
\definitionswortenp{linksneutrales Element}{} $e$ \zusatzklammer {d.h.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ ex }
{ = }{ x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gebe es ein
\definitionswortenp{Linksinverses}{,} d.h. ein Element $y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ yx }
{ = }{ e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann $M$ schon eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.

}
{(Bemerkung: häufig wird eine Gruppe durch diese Eigenschaften definiert.)} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel $W$. Es sei $\varphi$ eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, $\beta$ sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, $\psi$ sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und $\theta$ eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen \definitionsverweis {erzeugten Untergruppen}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien $\varphi$ und $\psi$ Bewegungen am Würfel. Zeige, dass die Drehachse von $\varphi$ und die Drehachse von $\psi$
\betonung{nicht}{} die Drehachse der Komposition $\varphi \circ \psi$ bestimmen.

}
{(Man gebe ein Beispiel, in dem die Identität nicht vorkommt.)} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a + b }
{ \defeq} { (a+b) \mod n }
{ =} { \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige, dass dadurch eine \definitionsverweis {assoziative}{}{} Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ = }{ 360/12 }
{ = }{ 30 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?

}
{} {}