Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2/latex
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\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Bundesarchiv_Bild_183-10308-0006,_Calbe,_DS-Sportschule,_Lehrgang_für_Sportler.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Bundesarchiv Bild 183-10308-0006, Calbe, DS-Sportschule, Lehrgang für Sportler.jpg } {} {} {Deutsches Bundesarchiv} {} {Bild 183-10308-0006}
Wir beginnen mit ein paar Aufwärmaufgaben, die nicht abzugeben sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und $x,y \in G$. Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mathl{H \subseteq G}{} einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ist genau dann eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man bringe für die Symmetrien am Würfel die Begriffe \anfuehrung{Drehachse}{,} \anfuehrung{Eigenvektor}{} und \anfuehrung{Eigenwert}{} in Verbindung. Welche Eigenwerte können auftreten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids $M$ und eines Elementes $m \in M$ derart, dass alle positiven Potenzen von $m$ vom neutralen Element verschieden sind.
}
{} {}
Es folgen die Aufgaben, die man abgeben darf.
\inputaufgabe
{3}
{
Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ ein endliches \definitionsverweis {Monoid}{}{.} Es gelte die folgende \anfuehrung{Kürzungsregel}{}: aus $ax=ay$ folgt $x=y$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
in der jedes Element die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement $g$ gilt
\mathl{g^2 = e}{.} Zeige, dass die Gruppe $G$ dann
\definitionsverweis {abelsch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {assoziativen}{}{}
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Es gebe ein
\definitionswortenp{linksneutrales Element}{} $e$
\zusatzklammer {d.h. $e x= x$ für alle $x \in M$} {} {}
und zu jedem $x\in M$ gebe es ein
\definitionswortenp{Linksinverses}{,} d.h. ein Element $y$ mit $yx=e$. Zeige, dass dann $M$ schon eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{(Bemerkung: häufig wird eine Gruppe durch diese Eigenschaften definiert.)} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel $W$. Es sei $\varphi$ eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, $\beta$ sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, $\psi$ sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und $\theta$ eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen \definitionsverweis {erzeugten Untergruppen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $\varphi$ und $\psi$ Bewegungen am Würfel. Zeige, dass die Drehachse von $\varphi$ und die Drehachse von $\psi$
\betonung{nicht}{} die Drehachse der Komposition $\varphi \circ \psi$ bestimmen.
}
{(Man gebe ein Beispiel, in dem die Identität nicht vorkommt.)} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathdisp {a + b := (a+b) \mod n = \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases}} { }
Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {assoziative}{}{}
Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels $\alpha=360/12=30$ Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
}
{} {}
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