Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 2
Wir beginnen mit ein paar Aufwärmaufgaben, die nicht abzugeben sind.
Beweise das folgende Untergruppenkriterium. Eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
Man bringe für die Symmetrien am Würfel die Begriffe „Drehachse“, „Eigenvektor“ und „Eigenwert“ in Verbindung. Welche Eigenwerte können auftreten?
Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids und eines Elementes derart, dass alle positiven Potenzen von vom neutralen Element verschieden sind.
Es folgen die Aufgaben, die man abgeben darf.
Aufgabe (3 Punkte)
Man bestimme für jede natürliche Zahl, wie viele eigentliche Würfelsymmetrien es gibt, die diese Zahl als Ordnung besitzen. Man gebe für jede Zahl, die als Ordnung einer eigentlichen Würfelsymmetrie auftritt, eine Matrixdarstellung einer Symmetrie an, die diese Ordnung besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung. Es gebe ein linksneutrales Element (d.h. für alle ) und zu jedem gebe es ein Linksinverses, d.h. ein Element mit . Zeige, dass dann schon eine Gruppe ist.
(Bemerkung: häufig wird eine Gruppe durch diese Eigenschaften definiert.)
Aufgabe (5 Punkte)
Betrachte die Gruppe der Bewegungen an einem Würfel . Es sei eine Vierteldrehung um eine Seitenmittelpunktachse, sei eine Halbdrehung um dieselbe Seitenmittelpunktachse, sei eine Dritteldrehung um eine Diagonalachse und eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktachse. Wie viele Elemente besitzen die von je zwei Elementen erzeugten Untergruppen?
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Bewegungen am Würfel. Zeige, dass die Drehachse von und die Drehachse von nicht die Drehachse der Komposition bestimmen.
(Man gebe ein Beispiel, in dem die Identität nicht vorkommt.)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei und betrachte auf
die Verknüpfung
Zeige, dass dadurch eine assoziative Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine Gruppe vorliegt.
Aufgabe (2 Punkte)
Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
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