Kurs:Einführung in die mathematische Logik/18/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	2	3	5	1	5	0	0	0	0	0	0	4	33

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bruno liest in der Zeitung: „Im letzen Jahr war bei ${}50\%$ aller Autounfälle Alkohol mit im Spiel“. Bruno überlegt: „ ${}50\%$ mit Alkohol, ${}50\%$ ohne Alkohol. Dann ist es also egal, ob man was trinkt oder nicht. In Zukunft werde ich das auch nicht mehr so streng sehen“. Beurteile diese Überlegung!

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Definiere zu jeder Aussage ${}\alpha \in L^{V}$ die Menge ${}\operatorname {Var} _{}^{}{\left(\alpha \right)}$ der in ${}\alpha$ vorkommenden Aussagenvariablen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige

\vdash \alpha \wedge \neg \alpha \rightarrow \beta

unter Verwendung von

\vdash \gamma \wedge \delta \rightarrow \delta \wedge \gamma

(Lemma 3.14 (Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021))).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge ${}V$ . Begründe die Konjunktionsregel für die Ableitungsbeziehung: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \beta$ , dann ist auch ${}\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$ .

Aufgabe * (5 (4+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}F$ ein topologischer Filter auf ${}X$ , ${}T\subseteq X$ eine offene Teilmenge und ${}T\notin F$ .

Zeige, dass das Mengensystem
${\left\{U\mid U\subseteq X{\text{ offen}},\,{\text{es gibt }}V\in F{\text{ mit }}V\cap {\left(X\setminus T\right)}\subseteq U\right\}}$

ein Filter auf ${}X$ ist, der ${}X\setminus T$ enthält und ${}T$ nicht enthält.
Zeige mit Hilfe des Lemmas von Zorn, dass es einen Ultrafilter ${}G$ mit ${}F\subseteq G$ und mit ${}T\notin G$ gibt.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Man finde eine äquivalente Formulierung für die Aussage „Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank“ mit Hilfe einer Existenzaussage.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{n},t_{1},\ldots ,t_{n}$ Terme und ${}f$ ein ${}n$ -stelliges Funktionssymbol. Zeige, dass die Ableitbarkeit

\vdash s_{1}=t_{1}\wedge \ldots \wedge s_{n}=t_{n}\rightarrow fs_{1}\ldots s_{n}=ft_{1}\ldots t_{n}

gilt.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen ${}(M,R)$ das modallogische Reflexivitätsaxiom genau dann gilt, wenn ${}R$ reflexiv ist.