Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Arbeitsblatt 3/latex
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\inputaufgabe
{}
{
Formuliere die folgenden Beziehungen \zusatzklammer {ein- oder mehrstellige Prädikate} {} {} innerhalb der natürlichen Zahlen $\N=\{0,1,2,3, \ldots \}$ allein mittels Gleichheit, Addition, Multiplikation und unter Verwendung von aussagenlogischen Junktoren und Quantoren. \aufzaehlungneun{ $x \geq y$. }{ $x> y$. }{ $x$ teilt $y$. }{ $x$ teilt nicht $y$. }{ $x$ ist eine Quadratzahl. }{ $x$ ist eine Primzahl. }{ $x$ ist keine Primzahl. }{ $x$ ist das Produkt von genau zwei verschiedenen Primzahlen. }{ $x$ wird von einer Primzahl geteilt.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache (mit
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {)} die folgenden (wahren) Aussagen.
\aufzaehlungvier{Wenn $x \geq y$ und $y \geq z$, so ist
\mathl{x \geq z}{.}
}{Wenn $x \geq y$ und $y \geq x$ gilt, so ist
\mathl{x= y}{.}
}{Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl.
}{Eine natürliche Zahl, für die es keine kleinere natürliche Zahl gibt, ist gleich $0$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die folgenden Aussagen mit Quantoren: \aufzaehlungvier{Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl. }{Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere natürliche Zahl. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. }{Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist. } Welche sind wahr, welche falsch?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere die folgenden mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen in der Prädikatenlogik erster Stufe. \aufzaehlungfuenf{Modus Barbara: Aus $B \subseteq A$ und $C \subseteq B$ folgt $C \subseteq A$. }{Modus Celarent: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \subseteq B$ folgt $C \cap A = \emptyset$. }{Modus Darii: Aus $B \subseteq A$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \cap A \neq \emptyset$. }{Modus Ferio: Aus $B \cap A = \emptyset$ und $C \cap B \neq \emptyset$ folgt $C \not \subseteq A$. }{Modus Baroco: Aus $B \subseteq A$ und $B \not \subseteq C$ folgt $A \not \subseteq C$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden wahren Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Es gibt unendlich viele Primzahlen.
} {Jede natürliche Zahl
\mathl{\geq 2}{} wird von einer Primzahl geteilt.
}
}
{} {}
Wie sieht es mit der Aussage aus, dass jede natürliche Zahl eine Primfaktorzerlegung besitzt?
\inputaufgabe
{}
{
Formalisiere in der arithmetischen Sprache die folgenden zahlentheoretischen Vermutungen. \aufzaehlungdrei{Die Goldbach-Vermutung. }{Die Vermutung über die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge. }{Die Vermutung über die Unendlichkeit der Mersenne-Primzahlen. }
}
{} {Man beachte bei (3), dass das Potenzieren mit einem unbekannten Exponenten nicht zur arithmetischen Sprache gehört.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.
}
{} {Diese Aufgabe ist nicht ganz einfach. Zur Lösung verwende man, dass $\sqrt{3}$
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist und den Satz des Pythagoras.}
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