Kurs:Elementare Algebra/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	0	4	3	0	3	3	4	4	10	0	2	3	4	4	3	2	0	55

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein kommutativer Ring ${}R$.
2. Das von einer Familie von Elementen ${}a_{j}\in R$, ${}j\in J$, in einem kommutativen Ring ${}R$ erzeugte Ideal.
3. Der Exponent ${}{\exp _{p}(f)}$ zu einem Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, bezüglich eines Primelementes ${}p\in R$ in einem faktoriellen Bereich ${}R$.
4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
5. Die Dimension eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ (${}V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem).
6. Ein aus einer Teilmenge ${}M\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.
2. Der Satz über die Umkehrabbildung eines Gruppenisomorphismus.
3. Der Satz über die Einheiten in einem Restklassenring ${}R/I$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die positiven reellen Zahlen ${}\mathbb {R} _{+}$ mit den Verknüpfungen

${}x\oplus y:=x\cdot y\,$

als neuer Addition und

${}x\otimes y:=e^{(\ln x)(\ln y)}\,$

als neuer Multiplikation. Ist ${}\mathbb {R} _{+}$ mit diesen Verknüpfungen (und mit welchen neutralen Elementen) ein Körper?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Binomialkoeffizienten die rekursive Beziehung

${}{\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\,$

erfüllen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Man bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}3146$ und ${}1515$ und man gebe eine Darstellung des ${}\operatorname {ggT}$ von ${}3146$ und ${}1515$ mittels dieser Zahlen an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl mit der Eigenschaft, dass die Anzahl ihrer Teiler ungerade ist. Zeige, dass ${}n$ eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

a) Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5$.

b) Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

${}a_{n}=a_{n+1}\,?$

c) Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen ${}4369,4131,3383$.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von faktoriellen Bereichen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}4$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=3\!\!\mod 4{\text{ und }}x=1\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, ${}a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe (0 Punkte)