Kurs:Elementare Algebra/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	3	2	2	3	3	3	7	5	4	3	2	6	0	57

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Unterring ${}S\subseteq R$ eines Ringes ${}R$.
2. Der Betrag einer komplexen Zahl ${}z=a+b{\mathrm {i} }$.
3. Ein gemeinsames Vielfaches von Elementen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
5. Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}M\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ in einem Schritt konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
2. Der Satz über die Charakterisierung von faktoriellen Bereichen.
3. Der Satz über die erzeugte Algebra eines algebraischen Elementes ${}f\in L$ in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine zweielementige Menge. Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung „Vereinigung“ auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$.

Aufgabe * (2 (0.5+1+0.5) Punkte)

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}5$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}8$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde die kleinste natürliche Zahl ${}n\geq 2$, die sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}h\in R$. Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Beschreibe das Bild und den Kern dieser Abbildung.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den chinesischen Restsatz für einen Hauptidealbereich.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${}*$ auf ${}\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass ${}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${}1*1=1$. Zeige, dass ${}*$ die übliche Multiplikation sein muss.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$, das aus den beiden Gleichungen

   ${}{\frac {3}{7}}x+{\frac {4}{9}}y-{\frac {3}{15}}z={\frac {1}{35}}\,$

   und

   ${}-{\frac {5}{3}}x+{\frac {1}{4}}y-{\frac {6}{7}}z={\frac {11}{10}}\,$

   besteht. Bestimme ein lineares Gleichungssystem, das zu diesem System äquivalent ist und zusätzlich die Eigenschaft besitzt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

2. Zeige, dass es zu jedem linearen Gleichungssystem über ${}\mathbb {Q}$ ein dazu äquivalentes Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Drehung um den Drehpunkt ${}P$ um den Winkel ${}\beta$, ${}0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ${}P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel ${}\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

Aufgabe (0 Punkte)