Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 5 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 8 | 5 | 2 | 1 | 62 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.
Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und sei .
a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.
b) Es sei . Ist stets ein Teiler von ?
c) Man gebe drei Primfaktoren von an.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den kleinen Satz von Fermat.
Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)Referenznummer erstellen
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .
a) Schreibe als Produktring
(im Sinne des chinesischen Restsatzes).
b) Wie viele Einheiten besitzt ?
c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von in .
Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Zeige, dass irreduzibel in ist.
b) Zeige, dass irreduzibel in ist.
c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von
in .
Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei und betrachte die Körpererweiterung
Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
konstruierbar ist.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Finde die primitiven Einheitswurzeln in .