Kurs:Elementare Algebra/3/Klausur/kontrolle


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 5 4 3 3 2 2 3 3 6 7 8 5 2 1 62








Es sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.



Es seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Es sei . Ist stets ein Teiler von


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.



Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.



Zeige, dass im Polynomring über einem Körper das Ideal kein Hauptideal ist.



Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.



Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen .



Zeige, dass es in der Restklassengruppe zu jedem Elemente gibt, deren Ordnung gleich ist.



Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).



Beweise den kleinen Satz von Fermat.



In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring .

a) Schreibe als Produktring (im Sinne des chinesischen Restsatzes).

b) Wie viele Einheiten besitzt ?

c) Schreibe das Element in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von in .



a) Zeige, dass irreduzibel in ist.

b) Zeige, dass irreduzibel in ist.

c) Bestimme die Partialbruchzerlegung von

in .



Es sei und betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)



Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.



Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl

konstruierbar ist.



Finde die primitiven Einheitswurzeln in .