Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur



Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 3 3 4 1 3 3 6 4 3 3 5 5 1 4 2 6 3 0 65




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. /Definition/Begriff
  2. Ein euklidischer Bereich .
  3. /Definition/Begriff
  4. /Definition/Begriff
  5. /Definition/Begriff
  6. /Definition/Begriff



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Kürzungsregel in einem kommutativen Ring .
  2. Der Chinesische Restsatz für .
  3. Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra zu einem algebraischen Element bei einer Körpererweiterung .



Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen und cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

entsprechen.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ganze Zahlen. Zeige, dass genau dann ein Teiler von ist, wenn es einen Ringhomomorphismus

gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

geben kann, ohne dass ein Teiler von ist.



Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?



Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in , dass irrational ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei . Zeige, dass die eulersche Funktion die Gleichheit

für erfüllt.



Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es sei ein Körper und sei

die Menge aller invertierbaren - Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.


b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper, ein Ring mit und

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass injektiv ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die Differenz, also die Verknüpfung

genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von gleich ist.



Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).



Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Man berechne in die Elemente

  1. ,
  2. ,
  3. .



Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch eine algebraische Körpererweiterung ist.



Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.



Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.



Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe einen Winkel , , an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei und

eine Drehung um den Drehpunkt um den Winkel , , mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.



Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Es bezeichne den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis durch . Skizziere die Situation.



Aufgabe (0 Punkte)