Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	1	3	3	3	4	3	3	5	8	5	1	4	2	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Bereich ${}R$.
2. Die Assoziiertheit von Elementen ${}a,b$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$.
4. Eine ${}R$-Algebra ${}A$, wobei ${}R$ einen kommutativen Ring bezeichnet.
5. Eine Linearkombination in einem ${}K$- Vektorraum.
6. Das Minimalpolynom eines Elementes ${}x\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Kürzungsregel in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Der Chinesische Restsatz für ${}\mathbb {Z}$.
3. Der Satz über die Restklassendarstellung zur erzeugten Algebra ${}K[f]$ zu einem algebraischen Element ${}f\in L$ bei einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}n,m\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige, dass ${}n$ genau dann ein Teiler von ${}m$ ist, wenn es einen Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

gibt. Zeige durch ein Beispiel, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(m)\longrightarrow \mathbb {Z} /(n)$

geben kann, ohne dass ${}n$ ein Teiler von ${}m$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+},\,(a,b)\longmapsto (a+b,ab,a^{b}),$

injektiv oder nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise mit Hilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$, dass ${}9^{1/3}$ irrational ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ die Gleichheit

${}{\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,$

für ${}n\geq 1$ erfüllt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass in ${}K$ die Differenz, also die Verknüpfung

$K\times K\longrightarrow K,\,(a,b)\longmapsto a-b,$

genau dann assoziativ ist, wenn die Charakteristik von ${}K$ gleich ${}2$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)$ das Inverse von ${}3x+4$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (5 (1+2+2) Punkte)

Man berechne in ${}\mathbb {Z} /(80)$ die Elemente

1. ${}3^{1234567}$,
2. ${}2^{1234567}$,
3. ${}5^{1234567}$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch ${}K\subseteq M$ eine algebraische Körpererweiterung ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

$X^{3}-3X-1$

über ${}\mathbb {Q}$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe einen Winkel ${}a^{\circ }$, ${}0<a<1$, an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei verschiedene Punkte ${}M,P$ in der Ebene gegeben. Es bezeichne ${}K$ den Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch den Punkt ${}P$. Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis ${}K$ durch ${}P$. Skizziere die Situation.