Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $3$, $5$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(3) \times \Z/(5) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 2 \!\! \mod 3 , \, \, \, \, x = 4 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 3 \!\! \mod 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $9$ und $25$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(9) \times \Z/(25)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 0 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 3 \!\! \mod 9 \text{ und } x = 5 \!\! \mod 25} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $2$, $3$ und $7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(2) \times \Z/(3) \times \Z/(7)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 1 \!\! \mod 2 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 3 \text{ und } x = 2 \!\! \mod 7} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gibt es eine natürliche Zahl $n$, die modulo $4$ den Rest $3$ und modulo $6$ den Rest $2$ besitzt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdrei{$3^{1234567}$, }{$2^{1234567}$, }{$5^{1234567}$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \geq 2}{} eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{ In der Primfaktorzerlegung von $n$ kommt jeder Primfaktor mit Exponent $1$ vor. }{Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist \definitionsverweis {reduziert}{}{.} }{Der Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} ist das \definitionsverweis {Produkt}{}{} von \definitionsverweis {Körpern}{}{.}}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten }{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten }{}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $\Z/(100)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.

a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}

b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?

c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe verwendet die folgende Definition.

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $n_R$ das Nilideal von $R$, das aus allen \definitionsverweis {nilpotenten Elementen}{}{} von $R$ besteht. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/n_R$ die \definitionswort {Reduktion}{} von $R$.

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {nilpotenten Elemente}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{} und die \definitionsverweis {Reduktion}{}{} von
\mathl{\Z/(n)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Werte der \definitionsverweis {eulerschen Funktion}{}{}
\mathl{{\varphi (n)}}{} für
\mathl{n \leq 20}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{a \in \N}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (a^n)} }
{ =} { a^{n-1} {\varphi (a)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{}
\mathl{\varphi}{} für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi ( \operatorname{kgV} (m,n))} }
{ =} {{\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

(a) Bestimme für die Zahlen $4$, $5$ und $11$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in
\mathdisp {\Z/(4) \times \Z/(5) \times \Z/(11)} { }
die Restetupel $(1,0,0),\, (0,1,0)$ und $(0,0,1)$ repräsentieren.

(b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung $x$ der simultanen Kongruenzen
\mathdisp {x = 3 \!\! \mod 4 , \, \, \, \, x = 2 \!\! \mod 5 \text{ und } x = 10 \!\! \mod 11} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den Rest von $11!$ modulo $91$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,} das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}