Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 15
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Bestätige den kleinen Fermat direkt für die Primzahlen .
Aufgabe
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe *
Berechne in .
Aufgabe
Finde einen Restklassenring derart, dass die Einheitengruppe davon nicht zyklisch ist.
Aufgabe
Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.
Aufgabe *
Es sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit
gilt.
Aufgabe
Es sei . Finde ein Polynom vom Grad , das für alle Elemente aus mit übereinstimmt.
Aufgabe *
a) Zeige, dass durch
ein Körper mit Elementen gegeben ist.
b) Berechne in das Produkt .
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu .
Aufgabe
Zeige, dass ein Körper ist und bestimme das Inverse von , wobei die Restklasse von bezeichne.
Aufgabe
Man gebe einen Restklassenring an, in dem es nichttriviale idempotente Elemente gibt.
Aufgabe
Finde in nichttriviale idempotente Elemente.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei . Es sei sowohl nilpotent als auch idempotent. Zeige, dass ist.
Aufgabe
Es seien und kommutative Ringe und sei der Produktring . Zeige, dass die Teilmenge ein Hauptideal ist.
Aufgabe
Sei ein faktorieller Bereich und ein Primelement. Zeige, dass der Restklassenring nur die beiden trivialen idempotenten Elemente und besitzt.
Aufgabe
Es seien ein kommutativer Ring und Ideale in . Es sei weiter
Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn gilt. Wie sieht aus? Benutze jetzt den Homomorphiesatz um einzusehen, was das im Falle mit dem chinesischen Restsatz zu tun hat.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und seien Ideale. Wir betrachten die Gruppenhomomorphismen
und
Zeige, dass injektiv ist, dass surjektiv ist und dass
ist. Sind und Ringhomomorphismen?
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien verschiedene Elemente und
das Produkt der zugehörigen linearen Polynome. Zeige, dass der Restklassenring isomorph zum Produktring ist.
Aufgabe *
Das Polynom besitzt in die Zerlegung
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element entspricht.
Aufgabe *
Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
Aufgabe
Aufgabe
Aufgabe *
Es seien kommutative Ringe und sei
der Produktring.
- Es seien
Ideale. Zeige, dass die Produktmenge
ein Ideal in ist.
- Zeige, dass jedes Ideal die Form
mit Idealen besitzt.
- Sei
ein Ideal in . Zeige, dass genau dann ein Hauptideal ist, wenn sämtliche Hauptideale sind.
- Zeige, dass genau dann ein Hauptidealring ist, wenn alle Hauptidealringe sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Zeige, dass ein Körper ist und bestimme das Inverse von , wobei die Restklasse von bezeichne.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein idempotentes Element. Zeige, dass auch idempotent ist und dass die „zusammengesetzte“ Restklassenabbildung
eine Bijektion ist.
Der folgende Satz heißt Satz von Wilson.
Es sei eine Primzahl.
Dann ist .
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.
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