Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} der Stammbrüche
\mathdisp {1, { \frac{ 1 }{ 2 } } , { \frac{ 1 }{ 3 } } , \ldots , { \frac{ 1 }{ 25 } }} { }
an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} der Stammbrüche
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 10 } } , { \frac{ 1 }{ 100 } } , { \frac{ 1 }{ 1000 } }, { \frac{ 1 }{ 10000 } }, ...} { }
an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde eine Darstellung der \definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/60}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner \definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für Zahlen
\mathl{n,r \in \N_+}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ n^r-1 }{ n^r } } }
{ =} { { \frac{ n-1 }{ n } } + { \frac{ n-1 }{ n^2 } } + \cdots + { \frac{ n-1 }{ n^{r-1 } }} + { \frac{ n-1 }{ n^r } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Was bedeutet die vorstehende Aufgabe bei
\mathl{n=10}{?}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 100 }{ 77 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 999 }{ 75 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ X(X-1) } }} { }
über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 3X^5+4X^4-2X^2+5X-6 }{ X^3 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten in der \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} in Beispiel 18.9 durch Einsetzen von einigen Zahlen für $X$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ x^4+1 } }} { }
unter Verwendung der Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4+1 }
{ =} { { \left( x^2+ \sqrt{2} x+1 \right) } { \left( x^2- \sqrt{2} x+1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^2(X^2+1) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3-1 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^3(X-1)^3 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ X^3+4X^2+7 }{ X^2-X-2 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X(X-1)(X-2)(X-3) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { { \frac{ x^3+7x^2-5x+4 }{ x^2-3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

b) Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathl{f(x)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass
\mathl{X^3+X^2+2}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Z/(3) [X]$ ist.

b) Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ X^4 }{ { \left( X^3+X^2+2 \right) }^2 } }} { }
in
\mathl{\Z/(3) (X)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass
\mathl{X^2+2}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Z/(5) [X]$ ist.

b) Zeige, dass
\mathl{X^3+X+1}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Z/(5) [X]$ ist.

c) Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+2 \right) } { \left( X^3+X +1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Z/(5) (X)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Zeige, dass
\mathl{X^2+1}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist.

b) Zeige, dass
\mathl{X^4+1}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist. \zusatzklammer {Tipp: In
\mathl{\R[X]}{} gilt die Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X^4+1 }
{ = }{ { \left( X^2+ \sqrt{2} X+1 \right) } { \left( X^2- \sqrt{2} X+1 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {.} {}

c) Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^4+1 \right) } } }} { }
in
\mathl{\Q(X)}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Finde eine Darstellung der \definitionsverweis {rationalen Zahl}{}{}
\mathl{1/210}{} als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner \definitionsverweis {Primzahlpotenzen}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {{ \frac{ 1536 }{ 245 } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass im \definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mathl{K(X)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ X^r-1 }{ X^r } } }
{ =} { { \frac{ X-1 }{ X } } + { \frac{ X-1 }{ X^2 } } + \cdots + { \frac{ X-1 }{ X^{r-1 } }} + { \frac{ X-1 }{ X^r } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ 1 }{ X^4-1 }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {komplexe}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Partialbruchzerlegung}{}{} von
\mathdisp {\frac{ X^7+X^4-5X+3 }{ X^8+X^6-X^4-X^2 }} { . }

}
{} {}