Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist und dass sich $w$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen. \aufzaehlungdrei{Sei
\mathbed {U_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Familie von \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{} von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\bigcap_{j \in J} U_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Untervektorraum. }{Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von Elementen in $V$ ist der \definitionsverweis {erzeugte Unterraum}{}{} ein Unterraum. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle }
{ =} { V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungsechs{Wenn die Familie \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig. }{Die leere Familie ist linear unabhängig. }{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zwei Vektoren \mathkor {} {v} {und} {u} {} sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} \zusatzklammer {ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $\Q^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{\Q^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor. Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}