Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme eine ganze Zahl
\mathl{n}{} derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } } }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit $p,q \in \Q$ in gekürzter Form sein.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K \subseteq \R}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{.} Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} der Charakteristik $\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{} \maabb {} {L} {L } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K \subset K' \, (\subseteq \R)}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch
\mathl{K[ { \mathrm i} ] \subset K'[{ \mathrm i}]}{} eine quadratische Körpererweiterung ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^{\times}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die Gruppe
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
für die \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathdisp {K=\Q,\, \R,\, {\mathbb C} ,\, \Z/(2) ,\, \Z/(3) ,\, \Z/(5) ,\, \Z/(7) ,\, \Z/(11)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} {\Q [\sqrt{p}] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die zugehörige \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von $\Q$. Zeige, dass die Elemente
\mathl{x \in K}{,} die \zusatzklammer {in $K$} {} {} eine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitzen, von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{y \in \Q}{} oder von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {pz^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{z \in \Q}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} der komplexen Zahlen, \mathkor {} {K = \Q[ \sqrt{p}, { \mathrm i} ]} {und} {L = \Q[ \sqrt{p} , \sqrt{- p}]} {.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{p,q \in \Q_{\geq 0}}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f }
{ =} { \sqrt{p} + \sqrt{q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass es ein Polynom
\mathl{G \in \Q[X]}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { X^4 + c X^2 + d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{G(f)=0}{} gibt.

b) Es seien nun zusätzlich \mathkor {} {p} {und} {q} {} verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}] }
{ =} {L }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass einerseits
\mathl{1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}}{} und andererseits
\mathbed {(\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i}} {}
{i=0,1,2,3} {}
{} {} {} {,} eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bildet. Berechne die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} für diese Basen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $p$, wobei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} sei. Es sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in K} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $K[x]= L$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von \definitionsverweis {Grad}{}{} $23$ ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} {L \cap \R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{7}] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} der \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man gebe auch eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.

b) Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form \mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {} mit
\mathl{m,n\in \Q}{} eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl
\mathl{x \in \Q}{} besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mathl{k,m,n \in \Q}{} besitzt.

d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R }
{ \subseteq }{ \R(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $\R(X)$ den \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} bezeichnet, nicht \definitionsverweis {endlich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ der \definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} des Polynoms
\mathl{X^2+1 \in \R[X]}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P=X^2+aX+b \in K[X]}{} ein quadratisches Polynom über einem Körper $K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $P$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass es einen \zusatzklammer {injektiven} {} {} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabb {} {L} {{\mathbb C} } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F\in K[X]}{} ein Polynom vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$. Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L }
{ \leq} {n ! }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_r }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Polynome. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} derart gibt, dass diese Polynome in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren zerfallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} und es sei $L$ der \definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} von $X^3-q$. Welchen Grad besitzt $L$ \zusatzklammer {über $\Q$} {} {?} Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grad}{}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es seien \mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {} zwei \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} von $\Q$ vom Grad \mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien \mathkor {} {d} {und} {e} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass dann
\mathdisp {K \cap L = \Q} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (4+1+1)}
{

Es sei $p$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^4-p}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} über $\Q$ ist.

b) Schließe daraus, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q[\sqrt[4]{ p } ] }
{ \subseteq} { \R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$ den \definitionsverweis {Grad}{}{} vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {K }
{ \subseteq} {\Q[\sqrt[4]{ p } ] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (3+1)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} der Charakteristik
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ \neq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass es in $K$ Elemente gibt, die keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq} {L }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} zwei gibt.

}
{} {}