Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme eine ganze Zahl ${}n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,$

in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]$ liegen.

Aufgabe *

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ das multiplikative Inverse von

${\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }.$

Die Antwort muss in der Form ${}p+q{\mathrm {i} }$ mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ in gekürzter Form sein.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren ${}K$- Algebraautomorphismus ${}L\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]$ eine quadratische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass

${\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}$

eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe

Beschreibe die Gruppe

${\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}$

für die Körper

$K=\mathbb {Q} ,\,\mathbb {R} ,\,{\mathbb {C} },\,\mathbb {Z} /(2),\,\mathbb {Z} /(3),\,\mathbb {Z} /(5),\,\mathbb {Z} /(7),\,\mathbb {Z} /(11).$

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]\,$

die zugehörige Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass die Elemente ${}x\in K$, die (in ${}K$) eine Quadratwurzel besitzen, von der Form

${}x=y^{2}\,$

mit ${}y\in \mathbb {Q}$ oder von der Form

${}x=pz^{2}\,$

mit ${}z\in \mathbb {Q}$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Unterkörper der komplexen Zahlen, ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\mathrm {i} }]$ und ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {-p}}]$. Zeige ${}K=L$.

Aufgabe *

Es seien ${}p,q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ und sei

${}f={\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\,.$

a) Zeige, dass es ein Polynom ${}G\in \mathbb {Q} [X]$ der Form

${}G=X^{4}+cX^{2}+d\,$

mit ${}G(f)=0$ gibt.

b) Es seien nun zusätzlich ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom ${}G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu ${}f$ ist.

Aufgabe

Betrachte die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.$

Zeige, dass einerseits ${}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}$ und andererseits ${}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}L$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung vom Grad ${}p$, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$. Zeige, dass ${}K[x]=L$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}L\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper derart, dass ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung von Grad ${}23$ ist. Es sei

${}K=L\cap \mathbb {R} \,$

Zeige, dass entweder ${}K=\mathbb {Q}$ oder ${}K=L$ ist.

Aufgabe

Bestimme den Grad von

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{3}},{\sqrt[{3}]{7}}]\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$

Man gebe auch eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.

b) Zeige, dass in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form ${}m^{3}p$ und ${}n^{3}p^{2}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${}x\in \mathbb {Q}$ besitze in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${}x$ die Form

$x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$

mit ${}k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.

d) Es sei nun ${}q$ eine weitere, von ${}p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$, wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}P=X^{2}+aX+b\in K[X]$ ein quadratisches Polynom über einem Körper ${}K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ${}P$?

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}F\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}K\subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}F$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\operatorname {grad} _{K}L\leq n!\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart gibt, dass diese Polynome in ${}L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.

Aufgabe

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ eine rationale Zahl und es sei ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{3}-q$. Welchen Grad besitzt ${}L$ (über ${}\mathbb {Q}$)? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grad von

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt[{3}]{2}}]\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

$K\cap L=\mathbb {Q}$

ist.

Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${}X^{4}-p$ irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,$

über ${}\mathbb {Q}$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.$

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p\neq 2$.

a) Zeige, dass es in ${}K$ Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.

b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung

${}K\subseteq L\,$

vom Grad zwei gibt.