Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(4,-1)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-2,5)}{} läuft.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{} in der Ebene mit den drei Eckpunkten $A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Kreis $K$ und ein Punkt
\mathl{P \in K}{} gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} die Tangente an den Kreis durch $P$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine Gerade $G$ und ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \notin }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. \definitionsverweis {Konstruiere}{}{} einen Kreis mit Mittelpunkt $P$ derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein nichtkonstruierbarer Punkt.

a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch $P$ gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.

b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch $P$ gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rekapituliere die Strahlensätze.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erläutere geometrisch, warum die $0$ das neutrale Element der \definitionsverweis {geometrischen Addition von reellen Zahlen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erläutere geometrisch, warum die $1$ das neutrale Element der \definitionsverweis {geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Erläutere geometrisch, woran die \definitionsverweis {geometrische Division von reellen Zahlen}{}{} durch $0$ scheitert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $P,Q$ zwei Punkte auf einer Geraden $L$ und $M$ sei eine weitere Gerade durch $P$. Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine \stichwort {Raute} {,} sodass \mathkor {} {P} {und} {Q} {} Eckpunkte sind und eine Seite auf $M$ liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Dreieck $D$ durch die Eckpunkte
\mathl{A,B,C}{} in der Ebene $E$ mit den Seiten
\mathl{S,T,R}{} gegeben. Es sei ferner eine Strecke $S'$ durch zwei Punkte
\mathl{P,Q \in E}{} gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu $D$ ähnliches \zusatzklammer {also winkelgleiches} {} {} Dreieck $D'$ derart, dass $S'$ eine Seite von $D'$ ist und dass $S'$ der Seite $S$ entspricht.

}
{} {Tipp: Konstruiere zuerst ein zu $D$ kongruentes Dreieck $D^{\prime \prime}$ derart, dass $S^{\prime \prime}$ zu $S'$ parallel ist.}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K} {und} {L} {,} wobei $K$ den Mittelpunkt $(2,3)$ und den Radius $4$ und $L$ den Mittelpunkt
\mathl{(5,-1)}{} und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei eine zweielementige Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \{0,1\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus $M$ in \definitionsverweis {einem Schritt}{}{,} in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beschreibe die Konstruktion einer reellen Zahl $x$ mit Hilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von $\sqrt{\pi}$ kleiner als
\mathl{0{,}00001}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}