Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere, ob es sich bei
\mathdisp {n!, \, \binom { n } { k }, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\, \heartsuit} { }
um Terme handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf
\mathl{K[X]}{} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das \zusatzklammer {konstante} {} {} Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Produkt
\mathdisp {( 2X^3+4X+5) \cdot ( X^4+5 X^2+6 )} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $\Z/(7)[X]$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{n}-1 }
{ =} {(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+X^{n-3} + \cdots + X^2 + X +1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{.} Zeige, dass $S[X]$ ein Unterring von $R[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{R[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Grad}{}{} folgende Eigenschaft erfüllt. \aufzaehlungdrei{$\operatorname{grad} \, (P+Q) \leq \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}$ }{$\operatorname{grad} \, (P \cdot Q) \leq \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)$ }{Wenn $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, so gilt in (2) die Gleichheit. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} $2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K } {P} {P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P+Q)(a) }
{ =} { P(a)+Q(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a) }
{ =} { P(a) \cdot Q(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 (a) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Schreibe das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ = }{ X+2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Schreibe das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {Z^3-(2 { \mathrm i} )Z^2+ 3 { \mathrm i} Z-(4 5 { \mathrm i} )} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W }
{ = }{ Z+ 2- { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Formuliere und beweise die \stichwort {Lösungsformel für eine quadratische Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax^2+bx+c }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathbed {a,b,c \in \R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {.}

}
{} {} In welchen Körpern gilt diese Lösungsformel ebenso?

\inputaufgabe
{}
{

Lucy Sonnenschein möchte sich ein quadratisches Grundstück kaufen. Drum rum möchte sie einen Heckenzaun pflanzen. Der Quadratmeterpreis beträgt $200$ Euro, ein Meter Hecke kostet $30$ Euro und die Eintragung ins Grundbuch kostet $1000$ Euro. Lucy möchte eine Million Euro investieren. Welche Seitenlänge hat das Grundstück?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2+dX^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(0) =1,\, f(1) = 2,\, f(2) = 0, \, f(-1) = 1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { a+bX+cX^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f({ \mathrm i}) = 1,\, f(1) = 1+{ \mathrm i},\, f(1-2{ \mathrm i}) = -{ \mathrm i}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Identität
\mathdisp {( X + Y )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } X^{k} Y^{n - k}} { }
im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z[X,Y]}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1 }
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für $u$ ungerade.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $r\in R$ ein \definitionsverweis {nilpotentes}{}{} Element. Konstruiere dazu ein lineares Polynom in $R[X]$, das eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist. Man gebe auch das \definitionsverweis {Inverse}{}{} dazu an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Man finde ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} $f$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} für welches
\mathdisp {f(0)=-1,\, f(-1) =-3,\, f(1) = 7,\, f(2) = 21} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{8}
{

Zwei Personen $A$ und $B$ spielen Polynome-Erraten. Dabei denkt sich $A$ ein Polynom $P(x)$ aus, wobei alle Koeffizienten aus $\N$ sein müssen. Person $B$ darf fragen, was der Wert
\mathl{P(n_1), P(n_2) , \ldots , P(n_r)}{} zu gewissen natürlichen Zahlen
\mathl{n_1 , n_2 , \ldots , n_r}{} ist. Dabei darf $B$ diese Zahlen beliebig wählen und dabei auch vorhergehende Antworten berücksichtigen. Ziel ist es, das Polynom zu erschließen.

Entwickle eine Fragestrategie für $B$, die immer zur Lösung führt und bei der die Anzahl der Fragen \zusatzklammer {unabhängig vom Polynom} {} {} beschränkt ist.

}
{} {}