Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 5
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Es seien mit und . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist.
Aufgabe
Es sei eine positive natürliche Zahl. Es seien natürliche Zahlen und es seien bzw. die Reste von bzw. bei Division durch . Zeige, dass der Rest von bei Division durch gleich dem Rest von bei Division durch ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.
Aufgabe
Es seien , . Zeige, dass bei Division mit Rest durch aller Potenzen von (also ) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also derart, dass sich die Reste von bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also und den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei anfangen muss.
Aufgabe *
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom durch teilt?
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass jedes Polynom eine Produktzerlegung
mit und einem nullstellenfreien Polynom besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen und die zugehörigen Exponenten bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
Aufgabe
Es sei eine Körpererweiterung und seien Polynome. Zeige, dass es für die Division mit Rest „ durch “ unerheblich ist, ob man sie in oder in durchführt.
Aufgabe
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
Aufgabe *
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.
Primfaktorzerlegung haben wir noch nicht begrifflich eingeführt. Gemeint ist eine faktorielle Zerlegung, die man nicht weiter aufspalten kann.
Aufgabe
Es sei ein Polynom mit reellen Koeffizienten und sei eine Nullstelle von . Zeige, dass dann auch die konjugiert-komplexe Zahl eine Nullstelle von ist.
Aufgabe
Es sei ein euklidischer Bereich mit euklidischer Funktion . Zeige, dass ein Element () mit eine Einheit ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe (4 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein nichtkonstantes Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeige, dass man als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad oder schreiben kann.
Tipp: Man führe Induktion über den Grad und verwende den Fundamentalsatz der Algebra, Aufgabe 5.12 und Aufgabe 5.9
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