Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 6/latex

\setcounter{section}{6}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Teilerdiagramm für die Zahlen $25,30,36$ sowie all ihrer positiven Teiler.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für je zwei ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus
\mathdisp {a{{|}}b \text{ und } b{{|}}a} { }
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ \pm b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für jede ungerade Zahl $n$ die Zahl
\mathl{25n^2-17}{} ein Vielfaches von $8$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {natürliche Zahl}{}{} $n$ genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich
\mathl{0,2,4,6}{} oder $8$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise \zusatzklammer {bekannte} {} {} Teilbarkeitskriterien für Zahlen im Dezimalsystem für die Teiler
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ = }{ 2,3,5,9,11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte im $15$er System mit den Ziffern $0,1 , \ldots , 8,9,A,B,C,D,E$ die Zahl
\mathdisp {EA09B4CA} { . }
Ist diese Zahl durch $7$ teilbar?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ ab }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.

b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \neq }{ b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$

c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Polynome. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $F$ ein Teiler von $G$ in $K[X]$ genau dann ist, wenn $F$ ein Teiler von $G$ in $L[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{,} so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. } {Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt hiervon auch die Umkehrung. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Primzahlen $2,3,5$ \definitionsverweis {Primelemente}{}{} in $\Z$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die linearen Polynome $aX+b$ \zusatzklammer {
\mathl{a \neq 0}{}} {} {} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_2 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} in $R$ besitze. Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r }
{ \in }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad nicht irreduzibel ist.

}
{} {Hinweis: Der Zwischenwertsatz hilft.}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^3+2X^2-5}{} in $\Q[X]$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von \mathkor {} {105} {und} {150} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Menge von ganzen Zahlen. Zeige, dass der nichtnegative \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} der $a_i$ mit demjenigen gemeinsamen Teiler übereinstimmt, der bezüglich der Ordnungsrelation $\geq$ der größte gemeinsame Teiler ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$

\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.} }{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mathl{c \in R}{.} }{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und sei
\mathl{R[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} darüber. Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathl{X+c}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} ist.

}
{Man gebe auch ein Beispiel, dass dies für Polynome der Form $aX+c$ nicht gelten muss.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte den \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ] }
{ \subset} { K[X] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Elemente \mathkor {} {X^2} {und} {X^3} {} in $R$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe sind die Eigenschaften prim und irreduzibel in einem Monoid zu verstehen, ohne dass ein Ring vorliegt.


\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte die Menge $M$, die aus allen positiven natürlichen Zahlen besteht, in deren Primfaktorzerlegung \zusatzklammer {in $\N$} {} {} eine gerade Anzahl \zusatzklammer {mit Vielfachheiten gezählt} {} {} von Primfaktoren vorkommt. Zeige, dass $M$ ein multiplikatives Untermonoid ist. Man charakterisiere die irreduziblen Elemente und die Primelemente in $M$.

}
{} {}