Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen \definitionsverweis {Primfaktor}{}{} der Zahl
\mathl{2^{25}-1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Primfaktor der Zahl
\mathl{2^{25}+1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen
\mathdisp {2^{33}-1, \, 2^{91}-1, \, 2^{13}+1} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1728$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man gebe zwei Primfaktoren von
\mathl{2^{35} -1}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte \definitionsverweis {irreduzible}{}{} Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{} $R$ der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} und das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} von zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existieren.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {\operatorname{kgV} \, (a,b) } {,} \zusatzklammer {wobei man das $\operatorname{kgV} \, \geq 0$ wählt} {} {,} ein \definitionsverweis {Monoid}{}{} definiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{.} Zeige, dass jedes von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Primideal}{}{} ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a$, $b$ und $r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit
\mathl{a^r {{|}} b ^r}{} die Teilbarkeit
\mathl{a {{|}} b}{} impliziert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 7^4} {und} {2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^{11} \cdot 7} {.}

b) Berechne den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} der ganzen Zahlen \mathkor {} {2 \cdot 3^2 \cdot 6 \cdot 7} {und} {2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^{4}} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, ob der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} zu zwei Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Allgemeinen einfacher über die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} der beiden Zahlen oder über den \definitionsverweis {euklidischen Algorithmus}{}{} zu finden ist.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben zeigen, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch $4$ den Rest $1$ besitzen, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \{1,5,9,13,17, { \ldots } \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass man $441$ innerhalb von $M$ auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in $M$ nicht weiter zerlegbar sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte den \definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} {K[X^2,X^3,X^4,X^5, \ldots ] }
{ \subset} { K[X] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $X^6$ zwei wesentlich verschiedene Zerlegungen in \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} besitzt.

}
{} {}

Die folgenden Aufgaben beschäftigen sich mit dem kommutativen Ring $R=K[\Q_{\geq 0}]$, wobei $K$ ein fixierter Körper ist. Er besteht aus allen Ausdrücken der Form
\mathdisp {a_1X^{q_1} + a_2X^{q_2} + \cdots + a_nX^{q_n}} { }
mit
\mathl{a_i \in K}{} und
\mathl{q_i \in \Q_{\geq 0}}{} besteht, und wobei die Addition komponentenweise und die Multiplikation durch distributive Fortsetzung der Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^q \cdot X^p }
{ \defeq} {X^{p+q} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Beispielsweise ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{{ \left( 2X^{1/2} + 5 X^{2/3} \right) } { \left( 3X^{1/2} -4 X^{1/3} \right) } }
{ =} {6X -8 X^{ 5/6} +15 X^{7/6} -20X }
{ =} { -14X-8 X^{ 5/6} +15 X^{7/6} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Man kann sich bei
\mathl{K=\R}{} die Elemente
\mathl{X^{a/b}}{} als die Funktionen \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {x} {x^{a/b} = \sqrt[b]{x^a} } {} vorstellen.

\inputaufgabe
{}
{

Berechne in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \R[\Q_{\geq 0}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Produkt
\mathdisp {{ \left( X^2 +4 X^{3/2}-5X+ X^{1/2} \right) } { \left( 2 X^{3/2}+4X-7X^{1/2} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ R }
{ = }{ K[\Q_{\geq 0}] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {} als ein Polynom in
\mathl{X^{1/b}}{} mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben kann, dass es also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ P(X^{1/b}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Welches Polynom kann man bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { X^{1/2} +X^{1/3} + X^{1/5} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nehmen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[\Q_{\geq 0}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ \R [\Q_{\geq 0}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element $X^2+1$ nicht \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}

Die folgende Aufgabe verwendet Logarithmen und benötigt Grundkenntnisse in linearer Algebra.


\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Man bestimme das \definitionsverweis {kleinste gemeinsame Vielfache}{}{} der Zahlen
\mathdisp {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $S$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^{\times} \cap R }
{ =} { R^{\times} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} In $S$ besitze jede Nichteinheit eine Zerlegung in \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{.} Zeige, dass diese Eigenschaft auch in $R$ gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1, a_2 , \ldots , a_n, b,f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Wenn $b$ ein \definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{} der
\mathl{a_1, a_2 , \ldots , a_n}{} ist, so ist auch $fb$ ein größter gemeinsamer Teiler der
\mathl{fa_1, fa_2 , \ldots , fa_n}{.}

b) Wenn $f$ ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $ab$ und das Produkt aus
\mathl{{\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) }}{} und
\mathl{{\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) }}{} zueinander \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2 (1+1)}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1,a_2 , \ldots , a_n }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente in einem \definitionsverweis {faktoriellen Bereich}{}{} $R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ kgV}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind.

b) Zeige, dass
\mathdisp {\operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1^k,a_2^k , \ldots , a_n^k \right) } \text{ und } { \left( \operatorname{ ggT}_{ } ^{ } { \left( a_1,a_2 , \ldots , a_n \right) } \right) }^k} { }
zueinander assoziiert sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass es in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ {\mathbb C}[\Q_{\geq 0}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} keine \definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{} gibt.

}
{} {}