Übungsaufgaben
Es sei
G
{\displaystyle {}G}
eine
(multiplikativ geschriebene)
kommutative Gruppe
und sei
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
. Zeige, dass das Potenzieren
G
⟶
G
,
x
⟼
x
n
,
{\displaystyle G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},}
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei
G
{\displaystyle {}G}
eine additiv geschriebene
kommutative Gruppe .
Zeige, dass die Negation, also die Abbildung
G
⟶
G
,
x
⟼
−
x
,
{\displaystyle G\longrightarrow G,\,x\longmapsto -x,}
ein
Gruppenisomorphismus
ist.
Bestimme, ob die durch die
Gaußklammer
gegebene Abbildung
Q
⟶
Z
,
q
⟼
⌊
q
⌋
,
{\displaystyle \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,}
ein
Gruppenhomomorphismus
ist oder nicht.
Es sei
R
{\displaystyle {}R}
ein
kommutativer Ring
und
h
∈
R
{\displaystyle {}h\in R}
. Zeige, dass die Abbildung
R
⟶
R
,
f
⟼
h
f
,
{\displaystyle R\longrightarrow R,\,f\longmapsto hf,}
ein
Gruppenhomomorphismus
ist. Beschreibe das
Bild
und den
Kern
dieser Abbildung.
a) Für welche reellen Polynome
P
∈
R
[
X
]
{\displaystyle {}P\in \mathbb {R} [X]}
ist die zugehörige polynomiale Abbildung
(
R
,
0
,
+
)
⟶
(
R
,
0
,
+
)
,
x
⟼
P
(
x
)
,
{\displaystyle (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto P(x),}
ein
Gruppenhomomorphismus ?
b) Für welche reellen Polynome
Q
∈
R
[
X
]
{\displaystyle {}Q\in \mathbb {R} [X]}
ist allenfalls
0
{\displaystyle {}0}
eine Nullstelle und die zugehörige polynomiale Abbildung
(
R
×
,
1
,
⋅
)
⟶
(
R
×
,
1
,
⋅
)
,
x
⟼
Q
(
x
)
,
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{\times },1,\cdot ),\,x\longmapsto Q(x),}
ein
Gruppenhomomorphismus ?
Es sei
d
∈
N
≥
2
{\displaystyle {}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}}
. Wir betrachten
Z
/
(
d
)
=
{
0
,
1
,
…
,
d
−
1
}
{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,}
mit der in
Aufgabe 1.19
beschriebenen Addition. Zeige, dass die Abbildung
ψ
:
Z
/
(
d
)
⟶
Z
,
r
⟼
r
,
{\displaystyle \psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,}
kein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Wir erinnern an den Begriff einer Matrix.
Es sei
R
{\displaystyle {}R}
ein kommutativer Ring und
(
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}}
eine
Matrix
über
R
{\displaystyle {}R}
. Zeige, dass die Matrix einen
Gruppenhomomorphismus
R
n
⟶
R
m
{\displaystyle R^{n}\longrightarrow R^{m}}
definiert, indem man
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
⟼
(
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}
anwendet, wobei
(
a
11
a
12
…
a
1
n
a
21
a
22
…
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
m
1
a
m
2
…
a
m
n
)
(
x
1
x
2
⋮
x
n
)
=
(
∑
i
=
1
n
a
1
i
x
i
∑
i
=
1
n
a
2
i
x
i
⋮
∑
i
=
1
n
a
m
i
x
i
)
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1i}x_{i}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2i}x_{i}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{mi}x_{i}\end{pmatrix}}\,}
ist.
In einer Kekspackung befinden sich Schokokekse, Waffelröllchen, Mandelsterne und Nougatringe. Die Kalorien, der Vitamin C-Gehalt und der Anteil an linksdrehenden Fettsäuren werden durch folgende Tabelle
(in geeigneten Maßeinheiten)
wiedergegeben:
Sorte
Kalorien
Vitamin C
Fett
Schokokeks
10
5
3
Waffelröllchen
8
7
6
Mandelstern
7
3
1
Nougatring
12
0
5
a) Beschreibe mit einer Matrix die Abbildung, die zu einem Verzehrtupel
(
x
,
y
,
z
,
w
)
{\displaystyle {}(x,y,z,w)}
das Aufnahmetupel
(
K
,
V
,
F
)
{\displaystyle {}(K,V,F)}
berechnet.
b) Heinz isst
100
{\displaystyle {}100}
Schokokekse. Berechne seine Vitaminaufnahme.
c) Ludmilla isst
10
{\displaystyle {}10}
Nougatringe und
11
{\displaystyle {}11}
Waffelröllchen. Berechne ihre Gesamtaufnahme an Nährstoffen.
d) Peter isst
5
{\displaystyle {}5}
Mandelsterne mehr und
7
{\displaystyle {}7}
Schokokekse weniger als Fritz. Bestimme die Differenz ihrer Kalorienaufnahme.
Matrizen werden miteinander multipliziert, indem jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix gemäß der Merkregel
(
Z
E
I
L
E
)
(
S
P
A
L
T
)
=
Z
S
+
E
P
+
I
A
+
L
L
+
E
T
{\displaystyle {}(ZEILE){\begin{pmatrix}S\\P\\A\\L\\T\end{pmatrix}}=ZS+EP+IA+LL+ET\,}
multipliziert wird
(insbesondere muss die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen)
und das Ergebnis an die entsprechende Stelle gesetzt wird.
Berechne das
Matrizenprodukt
(
Z
E
I
L
E
R
E
I
H
E
H
O
R
I
Z
O
N
T
A
L
)
⋅
(
S
E
I
P
V
K
A
E
A
L
R
A
T
T
L
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&E&I&L&E\\R&E&I&H&E\\H&O&R&I&Z\\O&N&T&A&L\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}S&E&I\\P&V&K\\A&E&A\\L&R&A\\T&T&L\end{pmatrix}}.}
Es sei
K
{\displaystyle {}K}
ein
Körper
und sei
M
=
{
(
a
b
c
d
)
∣
a
,
b
,
c
,
d
∈
K
,
a
d
−
b
c
≠
0
}
{\displaystyle {}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,}
die Menge aller invertierbaren
2
×
2
{\displaystyle {}2\times 2}
-
Matrizen .
a) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass
M
{\displaystyle {}M}
mit der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
M
⟶
K
×
,
(
a
b
c
d
)
⟼
a
d
−
b
c
,
{\displaystyle M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,}
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Es sei
M
{\displaystyle {}M}
eine
endliche Menge
und
T
⊆
M
{\displaystyle {}T\subseteq M}
eine Teilmenge, und es seien
Perm
(
T
)
{\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(T)}
und
Perm
(
M
)
{\displaystyle {}\operatorname {Perm} \,(M)}
die zugehörigen
Permutationsgruppen (also die Menge aller bijektiven Abbildungen auf
M
{\displaystyle {}M}
, siehe
Aufgabe 1.5 .)
Zeige, dass durch
Ψ
:
Perm
(
T
)
⟶
Perm
(
M
)
,
φ
⟼
φ
~
,
{\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Perm} \,(T)\longrightarrow \operatorname {Perm} \,(M),\,\varphi \longmapsto {\tilde {\varphi }},}
mit
φ
~
(
x
)
=
{
φ
(
x
)
,
falls
x
∈
T
,
x
sonst
,
{\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(x)={\begin{cases}\varphi (x),\,{\text{falls }}x\in T,\\x{\text{ sonst}},\end{cases}}\,}
ein
injektiver
Gruppenhomomorphismus
gegeben ist.
Es sei
G
{\displaystyle {}G}
eine
Gruppe
und
h
∈
G
{\displaystyle {}h\in G}
. Zeige, dass die Abbildung
G
⟶
G
,
g
⟼
h
g
h
−
1
,
{\displaystyle G\longrightarrow G,\,g\longmapsto hgh^{-1},}
eine
Gruppenautomorphismus
ist.
Die Automorphismen der vorstehenden Aufgabe nennt man auch innere Automorphismen .
Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 (1+2) Punkte)
Es seien
G
1
,
…
,
G
n
{\displaystyle {}G_{1},\ldots ,G_{n}}
Gruppen .
a) Definiere eine Gruppenstruktur auf dem Produkt
G
1
×
⋯
×
G
n
.
{\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n}.}
b) Es sei
H
{\displaystyle {}H}
eine weitere Gruppe. Zeige, dass eine Abbildung
φ
:
H
⟶
G
1
×
⋯
×
G
n
,
x
⟼
φ
(
x
)
=
(
φ
1
(
x
)
,
…
,
φ
n
(
x
)
)
,
{\displaystyle \varphi \colon H\longrightarrow G_{1}\times \cdots \times G_{n},\,x\longmapsto \varphi (x)=(\varphi _{1}(x),\ldots ,\varphi _{n}(x)),}
genau dann ein
Gruppenhomomorphismus
ist, wenn alle Komponenten
φ
i
{\displaystyle {}\varphi _{i}}
Gruppenhomomorphismen sind.
Bestimme die
Gruppenhomomorphismen
von
(
Q
,
+
,
0
)
{\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}
nach
(
Z
,
+
,
0
)
{\displaystyle {}(\mathbb {Z} ,+,0)}
.
Die folgende Aufgabe knüpft an
Aufgabe 1.20
an. Zu einer reellen Zahl
x
{\displaystyle {}x}
bezeichnet
⌊
x
⌋
{\displaystyle {}\lfloor x\rfloor }
die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich
x
{\displaystyle {}x}
ist.
Wir betrachten
M
=
{
q
∈
Q
∣
0
≤
q
<
1
}
{\displaystyle {}M={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid 0\leq q<1\right\}}\,}
mit der in
Aufgabe 1.17
definierten Verknüpfung, die nach
Aufgabe 1.20
eine
Gruppe
ist. Zeige, dass die Abbildung
Q
⟶
M
,
q
⟼
q
−
⌊
q
⌋
,
{\displaystyle \mathbb {Q} \longrightarrow M,\,q\longmapsto q-\lfloor q\rfloor ,}
ein
Gruppenhomomorphismus
ist.
Bestimme für jedes
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
den
Kern
des Potenzierens
R
×
⟶
R
×
,
z
⟼
z
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {R} ^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.}