Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die ganzen Zahlen $\Z$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z \times \Z} {\Z } {(a,b)} {a-b } {.} Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Verknüpfung auf einer Geraden, die zwei Punkten ihren Mittelpunkt zuordnet, kommutativ, aber nicht assoziativ ist. Gibt es ein neutrales Element?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{min} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \operatorname{Abb} \, { \left( S , S \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sei versehen mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung von Abbildungen}{}{}
als
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Ist die Verknüpfung
\definitionsverweis {assoziativ}{}{,}
\definitionsverweis {kommutativ}{}{,}
gibt es ein
\zusatzklammer {eindeutiges} {} {}
\definitionsverweis {neutrales Element}{}{,}
für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\definitionsverweis {inverses Element}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $S$ eine Menge und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {{ \left\{ F:S \rightarrow S \mid F \text{ bijektiv} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $G$ mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei \maabb {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn $f$ ein Linksinverses besitzt, und dass $f$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $f$ ein Rechtsinverses besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M,\circ,e)}{} ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y,a
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a \circ x
}
{ = }{ a \circ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
b) Folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a \circ x
}
{ = }{ a \circ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Drücke das Inverse von $xy$ durch die Inversen von $x$ und $y$ aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines endlichen Monoids $M$ und eines Elementes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass alle positiven Potenzen von $m$ vom neutralen Element verschieden sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein endliches
\definitionsverweis {Monoid}{}{.}
Es gelte die folgende \anfuehrung{Kürzungsregel}{}: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ax
}
{ = }{ ay
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit drei Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Beweise durch Induktion unter Verwendung der
Potenzgesetze,
dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^{mn}
}
{ =} { { \left( x^m \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise das folgende \stichwort {Untergruppenkriterium} {.} Eine nichtleere Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ ist genau dann eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
wenn gilt:
\mathdisp {\text{ für alle } g,h \in H \text{ ist } gh^{-1} \in H} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mathbed {H_i \subseteq G} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{i \in I} H_i} { }
eine Untergruppe von $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.
a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.
b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass auf $M$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \oplus b
}
{ \defeq} { \begin{cases} a+b , \text{ falls } a+b < 1 \, , \\ a+b -1 \text{ sonst} \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 1.17
definierten Verknüpfung.
a) Berechne
\mathdisp {{ \left( { \left( { \left( { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } \oplus { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) } \oplus { \frac{ 2 }{ 3 } } \right) } \oplus { \frac{ 5 }{ 7 } } \right) } \oplus { \frac{ 1 }{ 3 } } \right) }} { . }
b) Finde eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } \oplus x
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $G$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist.
}{Zeige, dass es kein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z v
}
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n)
}
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a + b
}
{ \defeq} { (a+b) \mod n
}
{ =} { \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n \, ,\\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass dadurch eine
\definitionsverweis {assoziative}{}{}
Verknüpfung auf dieser Menge definiert ist, und dass damit sogar eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {{ \left\{ q \in \Q \mid 0 \leq q < 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der in
Aufgabe 1.17
definierten Verknüpfung eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{max} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {assoziativen}{}{}
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{.}
Es gebe ein
\definitionswortenp{linksneutrales Element}{} $e$
\zusatzklammer {d.h.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ ex
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gebe es ein
\definitionswortenp{Linksinverses}{,} d.h. ein Element $y$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ yx
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann $M$ schon eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha
}
{ = }{ 360/12
}
{ = }{ 30
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?
}
{} {}
\inputaufgabe
{7 (2+1+1+3)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Group action on equilateral triangle.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Group action on equilateral triangle.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {gemeinfrei} {}
Wir betrachten ein gleichmäßiges Dreieck mit den Ecken
\mathl{A,B,C}{} und den folgenden sechs Abbildungen, die das Dreieck in sich selbst überführen, nämlich die Identität $I$, die Drehung $G$ um $120$ Grad gegen de Uhrzeigersinn, die Drehung $M$ um $120$ Grad mit dem Uhrzeigersinn
\zusatzklammer {beide um den Schwerpunkt des Dreiecks} {} {,}
und die
\definitionsverweis {Achsenspiegelungen}{}{}
$S_A, S_B, S_C$ an den
\definitionsverweis {Höhen}{}{}
zu $A,B,C$. Wie setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ = }{ \{ I,G,M, S_A, S_B, S_C \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
a) Erstelle eine Verküpfungstabelle für $E$.
b) Man folgere, dass
\mathl{E}{} eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
ist.
c) Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
eines jeden Gruppenelementes.
d) Bestimme die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $E$.
}
{} {}