Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Bild unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ein Unterring ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} eines \definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{} wieder ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{R,S,T}{}
\definitionsverweis {Ringe}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{Die Identität
\maabb {\operatorname{Id}_{ R }} { R} {R
} {}
ist ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
}{Sind
\mathkor {} {\varphi:R \rightarrow S} {und} {\psi: S \rightarrow T} {}
Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung
\maabb {\psi \circ \varphi} {R} {T
} {}
ein Ringhomomorphismus.
}{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Unterring, so ist die Inklusion
\mathl{R \hookrightarrow S}{} ein Ringhomomorphismus.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {\Z} {R
} {}
der
\definitionsverweis {kanonische Homomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
von $R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$n \in \N$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ebenfalls $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^3+4X-3$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto X^2+X-1}{} definierten
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X]} {K[X]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixiertes Element. Bestimme den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {K
} {X} {a
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P\in K[X]}{} ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch $X \mapsto P$ definierte
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
von $K[X]$ nach $K[X]$ injektiv ist und dass der durch $P$ erzeugte Unterring
\mathl{K[P] \subseteq K[X]}{} isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $0$ der \definitionsverweis {Nullring}{}{.} Bestimme die \definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} von $R$ nach $0$ und die Ringhomomorphismen von $0$ nach $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\Q$ nach $\Z$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von ${\mathbb C}$ nach $\R$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} von $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} und seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.8 konstruierten Ringen \mathkor {} {A=\operatorname{Abb} \, { \left( L , R \right) }} {und} {B=\operatorname{Abb} \, { \left( M , R \right) }} {.} Zeige, dass eine Abbildung \maabb {} {L} {M } {} einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {B} {A } {} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {K} {R
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L[X]} {L[X] } {\sum_{i = 0}^n a_iX^i } {\sum_{i = 0}^n \varphi(a_i)X^i } {,} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} des Polynomrings $L[X]$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$n \in \N$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von jedem Element
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ein Teiler von $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Berechne das Bild des Polynoms $X^4-2X^2+5X-2$ unter dem durch
\mathl{X \mapsto 2X^3+X-1}{} definierten
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabb {} {K[X]} {K[X]
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass ein Polynom
\mathl{P\in K[X]}{} genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, wenn das um
\mathl{a \in K}{} \anfuehrung{verschobene}{} Polynom
\zusatzklammer {das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch
\mathl{X-a}{} ersetzt} {} {}
irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} von $\R$ nach $\Q$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { p } { k }
}
{ \equiv} { 0 \mod p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1 , \ldots , p-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}