Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 13

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass das Bild unter einem Ringhomomorphismus ein Unterring ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Umkehrabbildung eines Ringisomorphismus wieder ein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien ${}R,S,T$ Ringe. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {Id} _{R}\colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon R\rightarrow T$ ein Ringhomomorphismus.
3. Ist ${}R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ebenfalls ${}n$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow R$ der kanonische Homomorphismus. Zeige, dass die Charakteristik von ${}R$ der eindeutig bestimmte nichtnegative Erzeuger des Kernideals ${}\operatorname {kern} \varphi \subseteq \mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}0$ der Nullring. Bestimme die Ringhomomorphismen von ${}R$ nach ${}0$ und die Ringhomomorphismen von ${}0$ nach ${}R$.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Z}$ gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {Q}$ gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}\mathbb {R}$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die Körperautomorphismen von ${}\mathbb {R}$.

Tipp: Zeige zuerst, dass ein Körperautomorphismus von ${}\mathbb {R}$ auch die Ordnungsstruktur erhält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}L$ und ${}M$ zwei Mengen mit den in Aufgabe 2.9 konstruierten Ringen ${}A=\operatorname {Abb} \,{\left(L,R\right)}$ und ${}B=\operatorname {Abb} \,{\left(M,R\right)}$. Zeige, dass eine Abbildung ${}L\rightarrow M$ einen Ringhomomorphismus

$B\longrightarrow A$

induziert.

Aufgabe

Setze in das Polynom ${}2X^{4}+X^{3}-3X^{2}+X+5$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}$ ein.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{3}+4X-3$ unter dem durch ${}X\mapsto X^{2}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Bestimme den Kern des Einsetzungshomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto a.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein nicht-konstantes Polynom. Zeige, dass der durch ${}X\mapsto P$ definierte Einsetzungshomomorphismus von ${}K[X]$ nach ${}K[X]$ injektiv ist und dass der durch ${}P$ erzeugte Unterring ${}K[P]\subseteq K[X]$ isomorph zum Polynomring in einer Variablen ist.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung

$L[X]\longrightarrow L[X],\,\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\longmapsto \sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i},$

ein Ringautomorphismus des Polynomrings ${}L[X]$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der Charakteristik ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Ordnung von jedem Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, ein Teiler von ${}n$ ist.

Der Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$ besteht aus allen reeelen Zahlen der Form ${}a+b{\sqrt {5}}$ mit ${}a,b\in \mathbb {Q}$, siehe auch Aufgabe 3.22.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass durch

$\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\longrightarrow \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}],\,a+b{\sqrt {5}}\longmapsto a-b{\sqrt {5}},$

(${}a,b\in \mathbb {Q}$) ein Körperautomorphismus gegeben ist, der nicht die Identität ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Berechne das Bild des Polynoms ${}X^{4}-2X^{2}+5X-2$ unter dem durch ${}X\mapsto 2X^{3}+X-1$ definierten Einsetzungshomomorphismus ${}K[X]\rightarrow K[X]$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um ${}a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}X$ durch ${}X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige, dass

${}{\binom {p}{k}}\equiv 0\mod p\,$

für alle ${}k=1,\ldots ,p-1$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.