Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 13

Ringhomomorphismen

Definition

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Ein Ringhomomorphismus ist also zugleich ein Gruppenhomomorphismus für die additive Struktur und ein Monoidhomomorphismus für die multiplikative Struktur. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man einen Ringisomorphismus, und zwei Ringe heißen isomorph, wenn es einen Ringisomorphismus zwischen ihnen gibt. Ein Ringisomorphismus eines Ringes auf sich selbst heißt Ringautomorphismus. Wenn ${}R$ und ${}S$ Körper sind, so spricht man manchmal auch von einem Körperhomomorphismus statt von einem Ringhomomorphismus. Dieser hat aber keine zusätzlichen Eigenschaften.

Die konstante Abbildung ${}R\rightarrow 0$ in den Nullring ist stets ein Ringhomomorphismus, dagegen ist die umgekehrte Abbildung, also ${}0\rightarrow R$, nur bei ${}R=0$ ein Ringhomomorphismus.

Lemma

Es seien ${}R,S,T$ Ringe.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität ${}\operatorname {Id} \colon R\rightarrow R$ ist ein Ringhomomorphismus.
2. Sind ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung

   $\psi \circ \varphi \colon R\longrightarrow T$

   ein Ringhomomorphismus.

3. Ist ${}R\subseteq S$ ein Unterring, so ist die Inklusion ${}R\hookrightarrow S$ ein Ringhomomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 13.3.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein Ring.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow R.$

Beweis

Ein Ringhomomorphismus muss die ${}1$ auf die ${}1_{R}$ abbilden. Deshalb gibt es nach Lemma 10.7 genau einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow (R,+,0),\,n\longmapsto n1_{R}.$

Wir müssen zeigen, dass diese Abbildung auch die Multiplikation respektiert, d.h. dass ${}(mn)1_{R}=(m1_{R})*(n1_{R})$. ist, wobei ${}*$ hier die Multiplikation in ${}R$ bezeichnet. Dies folgt für ${}m,n\geq 0$ aus dem allgemeinen Distributivgesetz. Daraus folgt es für beliebige ${}m,n$ aufgrund der Vorzeichenregeln.

$\Box$

Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den kanonischen Ringhomomorphismus (oder den charakteristischen Ringhomomorphismus) von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}R$.

Definition

Die Charakteristik eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die kleinste positive natürliche Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft ${}n\cdot 1_{R}=0$. Die Charakteristik ist ${}0$, falls keine solche Zahl existiert.

Wichtige Ringe wie ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ besitzen die Charakteristik ${}0$, die Restklassenringe ${}d$ besitzen die Charakteristik ${}d$. Die Charakteristik ist die Ordnung des Elementes ${}1_{R}$ in der additiven Gruppe ${}(R,0,+)$ (allerdings entspricht die Ordnung ${}\infty$ der Charakteristik ${}0$). Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen (charakteristischen) Ringhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich.

Dann ist die Charakteristik von ${}R$ null oder eine Primzahl.

Beweis

Die Charakteristik sei ${}n>0$  und es sei angenommen, dass ${}n$ keine Primzahl ist, also eine Zerlegung ${}n=ab$ mit kleineren Zahlen ${}0<a,b<n$ besitzt. Nach Definition der Charakteristik ist ${}n_{R}=0$ in ${}R$ und ${}n$ ist die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft. Aufgrund von Satz 13.3 ist ${}a_{R}b_{R}=n_{R}=0$, sodass, weil ${}R$ ein Integritätsbereich ist, einer der Faktoren null sein muss, im Widerspruch zur Minimalität von ${}n$.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}u\in R^{\times }$ eine Einheit.

Dann ist auch ${}\varphi (u)$ eine Einheit.

Mit anderen Worten: Ein Ringhomomorphismus induziert einen Gruppenhomomorphismus

$R^{\times }\longrightarrow S^{\times }.$

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Der Einsetzungshomomorphismus

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}A$ ein weiterer kommutativer Ring und es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow A$ ein Ringhomomorphismus und ${}a\in A$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi (X)=a$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})a^{j}$.

Beweis

Bei einem Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow A$

mit ${}\psi \circ i=\varphi$. müssen die Konstanten ${}c\in R$ auf ${}\varphi (c)$ und ${}X$ auf ${}a$ gehen. Daher muss ${}X^{j}$ auf ${}a^{j}$ gehen. Da Summen respektiert werden, kann es nur einen Ringhomorphismus geben, der die im Zusatz angegebene Gestalt haben muss. Es ist also zu zeigen, dass durch diese Vorschrift wirklich ein Ringhomomorphismus definiert ist. Dies folgt aber direkt aus dem Distributivgesetz.

$\Box$

Den in diesem Satz konstruierten Ringhomomorphismus nennt man den Einsetzungshomomorphismus.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}r\in R$ ein Element.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus

$\psi \colon R[X]\longrightarrow R$

mit ${}\psi (X)=r$ und mit ${}\psi \circ i=\varphi$, wobei ${}i\colon R\rightarrow R[X]$ die kanonische Einbettung ist.

Dabei geht das Polynom ${}P=\sum _{j=0}^{n}c_{j}X^{j}$ auf ${}\sum _{j=0}^{n}\varphi (c_{j})r^{j}$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 13.7.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Es sei ${}Y=aX+b$, wobei ${}a$ eine Einheit in ${}R$ sei.

Dann gibt es einen Ringisomorphismus

$R[X]\longrightarrow R[X],\,X\longmapsto aX+b.$

Beweis

Die Einsetzungshomomorphismen zu ${}X\mapsto aX+b$ und ${}X\mapsto a^{-1}X-a^{-1}b$ definieren aufgrund von Satz 13.7 jeweils einen Ringhomomorphismus ${}\psi$ und ${}\varphi$ von ${}R[X]$ nach ${}R[X]$, die wir hintereinander schalten:

$R[X]{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}R[X]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}R[X].$

Bei diesem Ringhomomorphismus bleiben die Elemente aus ${}R$ unverändert, und die Variable ${}X$ wird insgesamt auf

${}a(a^{-1}X-a^{-1}b)+b=aa^{-1}X-aa^{-1}b+b=X\,$

geschickt. Daher muss die Verknüpfung aufgrund der Eindeutigkeit in Satz 13.7 die Identität sein. Dies gilt auch für die Hintereinanderschaltung in umgekehrter Reihenfolge, sodass ein Isomorphismus vorliegt.

$\Box$

Ideale unter einem Ringhomomorphismus

Der Zusammenhang zwischen Ringhomomorphismen und Idealen wird durch folgenden Satz hergestellt.

Satz

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{f\in R\mid \varphi (f)=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$.

Beweis

Es sei

${}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.$

Wegen ${}\varphi (0)=0$. ist ${}0\in I$. Es seien ${}a,b\in I$. Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$. Dann ist

${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,$

und daher ${}a+b\in I$.

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

${}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,$

also ist ${}ra\in I$.

$\Box$

Da ein Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der zugrunde liegenden additiven Gruppe ist, gilt wieder das Kernkriterium für die Injektivität. Eine Anwendung davon ist das folgende Korollar.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein vom Nullring verschiedener Ring. Es sei

$\varphi \colon K\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus.

Dann ist ${}\varphi$ injektiv.

Beweis

Es genügt nach Lemma 10.14 zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich ${}0$ ist. Nach Satz 13.10 ist der Kern ein Ideal. Da die ${}1$ auf ${}1\neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz ${}K$. Da es nach Lemma 7.5 in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.

$\Box$

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