Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 14

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$ ein fixiertes Element. Zeige, dass der Restklassenring ${}K[X]/(X-a)$ zu ${}K$ isomorph ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}P\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}d$. Zeige, dass jedes Element im Restklassenring ${}R=K[X]/(P)$ durch ein Polynom vom Grad ${}<d$ repräsentiert werden kann.

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{5})$ das Produkt

${\left(7X^{4}-{\frac {2}{3}}X^{3}+2X+{\frac {1}{5}}\right)}{\left(-{\frac {4}{7}}X^{3}+4X^{2}-3\right)}.$

Aufgabe *

Berechne in

$\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)$

das Produkt

$(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)$

(${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe

Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe

Vereinfache den Restklassenring ${}\mathbb {Z} [X]/(3,11X^{2}-4)$.

Aufgabe

Berechne im Restklassenring ${}\mathbb {Z} [X]/(6X)$ das Produkt

$(4X^{3}-2X+3)(3X^{3}-3X^{2}+4).$

Aufgabe

Lucy Sonnenschein kennt von einer natürlichen Zahl ${}n$ nur den Rest bei Division durch ${}12$. Welche der Reste von ${}n$ bei Division durch die folgenden Zahlen ${}e$ kann sie daraus erschließen?

1. ${}e=1$,
2. ${}e=2$,
3. ${}e=3$,
4. ${}e=4$,
5. ${}e=5$,
6. ${}e=6$,
7. ${}e=7$,
8. ${}e=8$,
9. ${}e=0$.

Aufgabe

Man konstruiere zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen kommutativen Ring ${}R$ der Charakteristik ${}0$ derart, dass es in ${}R$ ein Element der Ordnung (bezüglich der additiven Struktur) ${}n$ gibt.

Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring ${}R$, in dem die ${}4$ mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.

Aufgabe *

Man gebe zu jedem ${}n\geq 2$ einen kommutativen Ring ${}R$ und ein Element ${}x\in R$, ${}x\neq 0$, an, für das ${}nx=0$ und ${}x^{n}=0$ gilt.

Aufgabe

Bestimme den Kern und das Bild des Einsetzungshomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Q} [X]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,X\longmapsto {\sqrt {5}}.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(f)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Zeige, dass jeder Restklassenring eines Hauptidealringes wieder ein Hauptidealring ist. Man gebe ein Beispiel, dass ein Restklassenring eines Hauptidealbereiches kein Hauptidealbereich sein muss.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi :R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Radikal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {a}})$ ein Radikal in ${}R$ ist.

Aufgabe

1. Zu einem Körper ${}K$ sei ${}R=\operatorname {Folg} _{\rm {}}(K)$ die Menge der Folgen mit Werten in ${}K$. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist. Besitzt ein solcher Ring nicht-triviale idempotente Elemente?
2. Es sei von nun an ${}K=\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$, sodass man eine Metrik zur Verfügung hat. Zeige, dass die Menge der konvergenten Folgen ${}\operatorname {Folg} _{\rm {konv}}(K)$ einen Unterring von ${}R$ bildet.
3. Zeige im Fall ${}K=\mathbb {Q}$, dass die Menge ${}\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )$ der Cauchy-Folgen ebenfalls ein Unterring ist.
4. Betrachte nun die Menge ${}N$ der Nullfolgen und begründe, dass diese ein Ideal in den verschiedenen Ringen ist. Zeige, dass ${}N$ die Eigenschaft besitzt, dass wenn ${}x\cdot y\in N$ ist, dass dann einer der Faktoren dazu gehören muss.
5. Definiere einen natürlichen Ringhomomorphismus

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )\longrightarrow \mathbb {R}$

   derart, dass eine Ringisomorphie

   $\operatorname {Folg} _{\rm {Cauchy}}(\mathbb {Q} )/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   entsteht.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}a$ und ${}n$ natürliche Zahlen mit ${}n\geq 2$. Es sei

${}a=\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}n^{i}\,$

die Darstellung von ${}a$ zur Basis ${}n$ (also mit ${}0\leq a_{i}<n$). Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}n-1$. Dann wird ${}a$ von ${}k$ genau dann geteilt, wenn die Quersumme ${}\sum _{i=0}^{\ell }a_{i}$ von ${}k$ geteilt wird.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}a$ eine positive reelle Zahl. Zeige, dass der Restklassenring ${}\mathbb {R} [X]/(X^{2}+a)$ isomorph zu ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I\subseteq R$ ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}I$ genau dann ein maximales Ideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/I$ ein Körper ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass der Restklassenring

$\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2}+X+1)$

ein Körper mit vier Elementen ist.

Die nächste Aufgabe verwendet folgende Definition.

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt reduziert, wenn ${}0$ das einzige nilpotente Element von ${}R$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ reduziert ist.