Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 12

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bringe die Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ mit der in Aufgabe ***** direkt eingeführten Gruppe in Verbindung.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe ${}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ derart gibt, dass

$F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu ${}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$.

Aufgabe

Finde in der Permutationsgruppe ${}S_{3}$ einen Normalteiler ${}N\neq 0,S_{3}$ und bestimme die zugehörige Restklassengruppe.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Fakt *****) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Fakt *****.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgabe

Seien ${}G,H$ und ${}F$ Gruppen und seien ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ und ${}\psi \colon G\rightarrow F$ Gruppenhomomorphismen mit ${}\psi$ surjektiv und mit ${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Bestimme den Kern des induzierten Homomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon F\longrightarrow H.$

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}a\neq 0$ die Restklassengruppen ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Definiere einen Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {Z} ,+,0),$

der ${}p\mapsto 1$ und alle anderen Primzahlen auf ${}0$ schickt.

Bestimme auch den Kern dieses Gruppenhomomorphismus.

Aufgabe

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ Gruppen und seien ${}N_{1}\subseteq G_{1}$ und ${}N_{2}\subseteq G_{2}$ Normalteiler. Zeige, dass ${}N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in ${}G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie

${}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$

vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine (additive) Untergruppe der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass entweder ${}H={\mathbb {Z} }a$ mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl ${}a$ ist, oder aber ${}H$ dicht in ${}\mathbb {R}$ ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen zwischen zwei zyklischen Gruppen. Welche sind injektiv und welche sind surjektiv?

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es eine Gruppe ${}G$ und einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon (\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow G$

mit der Eigenschaft gibt, dass ${}r\in \mathbb {R}$ genau dann rational ist, wenn ${}\varphi (r)=0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme sämtliche Gruppen mit vier Elementen.