Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2+5 { \mathrm i}}{} über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{} über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$1$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige: $P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in $L$, wenn es einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus }{}{}
\maabb {} { K[X]/(P) } { L
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[f]
}
{ = }{ K(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ K'
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$. Zeige, dass dann $f$ auch algebraisch über $K'$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{ a-b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A} \cap \R
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{ { \frac{ -1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \epsilon \sqrt[3]{7} ]
}
{ =} {L
}
{ \subseteq} {{\mathbb C}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\epsilon \sqrt[3]{7}$.
}{Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $3$ ist.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
nicht $L$ in $L$ überführt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {algebraischen Zahlen}{}{} $\mathbb A$ keine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Man gebe eine Gerade $G$ in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, die keine algebraische Zahl enthält.
b) Man gebe einen Kreis $K$ in der Ebene
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an, der keine algebraische Zahl enthält.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im Körper
\mathl{\Q[X]/(X^3-5)}{}
\zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
über $K$. Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \cong }{ \varphi(L)
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathl{2 { \mathrm i}-3 \sqrt{3}}{} über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}