Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}2+5{\mathrm {i} }$ über ${}\mathbb {Q}$ .

Aufgabe

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${}{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}$ über ${}\mathbb {Q}$ .

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$ . Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${}{\mathbb {C} }=L$ .

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige: ${}P$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${}L$ , wenn es einen ${}K$ - Algebrahomomorphismus ${}K[X]/(P)\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige: ${}f$ ist genau dann algebraisch über ${}K$ , wenn ${}K[f]=K(f)$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}K\subseteq K'\subseteq L$ ein Zwischenkörper. Es sei ${}f\in L$ algebraisch über ${}K$ . Zeige, dass dann ${}f$ auch algebraisch über ${}K'$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$ , ${}a,b\in \mathbb {R}$ , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${}\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

a) Man gebe eine Gerade ${}G$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }$ an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis ${}K$ in der Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }$ an, der keine algebraische Zahl enthält.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ ( ${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$ ).

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}L=K(X)$ der rationale Funktionenkörper über ${}K$ . Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ derart gibt, dass ${}L\cong \varphi (L)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ ist.