Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 23

Weiteres zum Minimalpolynom

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$.

Dann gibt es eine kanonische ${}K$- Algebraisomorphie

$K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

Beweis

Die Einsetzung ${}X\mapsto f$ ergibt nach Satz 13.7 den kanonischen ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow L,\,X\longmapsto f.$

Das Bild davon ist genau ${}K[f]$, sodass ein surjektiver ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X]\longrightarrow K[f]$

vorliegt. Daher gibt es nach Korollar 14.5 eine Isomorphie zwischen ${}K[f]$ und dem Restklassenring von ${}K[X]$ modulo dem Kern der Abbildung. Der Kern ist aber nach Lemma 22.11 das vom Minimalpolynom erzeugte Hauptideal.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das Minimalpolynom ${}P$ von ${}f$ über ${}K$ ist irreduzibel.
2. Wenn ${}Q\in K[X]$ ein normiertes, irreduzibles Polynom mit ${}Q(f)=0$ ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.

Beweis

1. Es sei ${}P=P_{1}P_{2}$ eine Faktorzerlegung des Minimalpolynoms. Dann gilt in ${}L$ die Beziehung

   ${}0=P(f)=P_{1}(f)P_{2}(f)\,.$

   Da ${}L$ ein Körper ist, muss ein Faktor ${}0$ sein, sagen wir ${}P_{1}(f)=0$. Da aber ${}P$ unter allen Polynomen ${}\neq 0$, die ${}f$ annullieren, den minimalen Grad besitzt, müssen ${}P$ und ${}P_{1}$ den gleichen Grad besitzen und folglich muss ${}P_{2}$ konstant (${}\neq 0$), also eine Einheit sein.

2. Wegen ${}Q(f)=0$ ist ${}Q$ aufgrund von Lemma 22.11 ein Vielfaches des Minimalpolynoms ${}P$, sagen wir ${}Q=GP$. Da ${}Q$ nach Voraussetzung irreduzibel ist, und da ${}P$ zumindest den Grad ${}1$ besitzt, muss ${}G$ konstant sein. Da schließlich sowohl ${}P$ als auch ${}Q$ normiert sind, ist ${}P=Q$.

$\Box$

Algebraische Körpererweiterung

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von ${}0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(f)=0$. Sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist

${}P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. ${}(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente ${}c_{i}$ gibt, die nicht alle ${}0$ sind mit ${}\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung ${}P(f)$ für das Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. ${}(2)\Rightarrow (4)$. Sei

${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$

ein normiertes Polynom mit ${}P(f)=0$, also mit

${}c_{n}=1\,.$

Dann kann man umstellen

${}f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$

D.h. ${}f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von ${}f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen ${}f^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken kann. ${}(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. ${}(5)\Rightarrow (3)$. Wenn ${}f$ in einer endlichdimensionalen Algebra ${}M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von ${}f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

Beweis

Nach Satz 23.1 liegt eine ${}K$- Algebraisomorphie ${}K[X]/(P)\cong K[f]$ vor, wobei ${}P$ das Minimalpolynom zu ${}f$ ist. Nach Lemma 23.2  (2) ist ${}P$ irreduzibel, sodass wegen Satz 15.1 der Restklassenring ${}K[f]$ ein Körper ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann stimmen die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unteralgebra und der von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unterkörper überein.

Es gilt also ${}K[f]=K(f)$.

Beweis

Die Inklusion ${}K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring ${}K[f]$ aufgrund von Satz 23.4 schon ein Körper.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu ${}z=F(x)$, ${}z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse ${}z^{-1}$ bestimmen. Es sind ${}P$ und ${}F$ teilerfremde Polynome in ${}K[X]$ und daher gibt es nach Satz 8.3 und Korollar 8.6 eine Darstellung der ${}1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn ${}RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von ${}R$, also ${}{\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${}{\overline {F}}=z$.

Algebraischer Abschluss

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Dann nennt man die Menge

${}M={\left\{x\in L\mid x{\text{ ist algebraisch über }}K\right\}}\,$

den algebraischen Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$.

Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

Beweis

Wir müssen zeigen, dass ${}M$ bezüglich der Addition, der Multiplikation, des Negativen und des Inversen abgeschlossen ist. Seien ${}x,y\in M$. Wir betrachten die von ${}x$ und ${}y$ erzeugte ${}K$-Unteralgebra ${}U=K[x,y]$, die aus allen ${}K$-Linearkombinationen der ${}x^{i}y^{j}$, ${}i,j\in \mathbb {N}$, besteht. Da sowohl ${}x$ als auch ${}y$ algebraisch sind, kann man nach Satz 23.3 gewisse Potenzen ${}x^{n}$ und ${}y^{m}$ durch kleinere Potenzen ersetzen. Daher kann man alle Linearkombinationen mit den Monomen ${}x^{i}y^{j}$, ${}i<n$, ${}j<m$, ausdrücken. D.h. alle Operationen spielen sich in dieser endlichdimensionalen Unteralgebra ab. Daher sind Summe, Produkt und das Negative nach Satz 23.3 wieder algebraisch. Für das Inverse sei ${}z\neq 0$ algebraisch. Dann ist ${}K[z]$ nach Satz 23.4 ein Körper von endlicher Dimension. Daher ist ${}z^{-1}\in K[z]$ selbst algebraisch.

$\Box$

Algebraische Zahlen

Die über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ algebraischen komplexen Zahlen erhalten einen speziellen Namen.

Definition

Eine komplexe Zahl ${}z$ heißt algebraisch oder algebraische Zahl, wenn sie algebraisch über den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$ ist. Andernfalls heißt sie transzendent.

Die Menge der algebraischen Zahlen wird mit ${}{\mathbb {A} }$ bezeichnet.

Ferdinand von Lindemann (1852-1939)

Bemerkung  

Eine komplexe Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ ist genau dann algebraisch, wenn es ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ mit rationalen Koeffizienten und mit ${}P(z)=0$ gibt. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner kann man für eine algebraische Zahl auch ein annullierendes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten finden (das allerdings nicht mehr normiert ist). Eine rationale Zahl ${}q$ ist trivialerweise algebraisch, da sie Nullstelle des linearen rationalen Polynoms ${}X-q$ ist. Weiterhin sind die reellen Zahlen ${}{\sqrt {q}}$ und ${}q^{1/n}$ für ${}q\in \mathbb {Q}$ algebraisch. Dagegen sind die Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ nicht algebraisch. Diese Aussagen sind keineswegs selbstverständlich, die Transzendenz von ${}\pi$ wurde beispielsweise von Ferdinand von Lindemann 1882 gezeigt.

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