Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 24
- Übungsaufgaben
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Bestimme in das multiplikative Inverse von
Die Antwort muss in der Form mit in gekürzter Form sein.
Es sei ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ein Unterkörper von ist.
Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren - Algebraautomorphismus gibt.
Es sei eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch eine quadratische Körpererweiterung ist.
Es sei eine Primzahl und
die zugehörige Körpererweiterung von . Zeige, dass die Elemente , die (in ) eine Quadratwurzel besitzen, von der Form
mit oder von der Form
mit sind.
Es sei eine Primzahl. Wir betrachten die Unterkörper der komplexen Zahlen, und . Zeige .
Es seien und sei
a) Zeige, dass es ein Polynom der Form
mit gibt.
b) Es seien nun zusätzlich und verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom aus Teil a) das Minimalpolynom zu ist.
Betrachte die Körpererweiterung
Zeige, dass einerseits und andererseits , , eine - Basis von bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.
Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , wobei eine Primzahl sei. Es sei , . Zeige, dass ist.
Es sei ein Unterkörper derart, dass eine Körpererweiterung von Grad ist. Es sei
Zeige, dass entweder oder ist.
Es sei eine Primzahl.
a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung
Man gebe auch eine - Basis von an.
b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.
c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form
mit besitzt.
d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.
Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.
Es sei ein quadratisches Polynom über einem Körper . Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ?
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus gibt.
Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung
gilt.
Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung derart gibt, dass diese Polynome in in Linearfaktoren zerfallen.
Es sei eine rationale Zahl und es sei der Zerfällungskörper von . Welchen Grad besitzt (über )? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)
Es sei eine Primzahl.
a) Zeige, dass das Polynom irreduzibel über ist.
b) Schließe daraus, dass
über den Grad vier besitzt.
c) Finde einen echten Zwischenkörper
Aufgabe (4 (3+1) Punkte)
Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik .
a) Zeige, dass es in Elemente gibt, die keine Quadratwurzel besitzen.
b) Zeige, dass es eine endliche nichttriviale Körpererweiterung
vom Grad zwei gibt.
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