Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 26/kontrolle
- Übungsaufgaben
Ist die Zahl, die den „goldenen Schnitt“ beschreibt, eine konstruierbare Zahl?
Zeige, dass man zu einem gegebenen Parallelogramm mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Rechteck derart konstruieren kann, dass eine Seite (von Parallelogramm und Rechteck) übereinstimmt.
Zeige direkt, ohne Bezug auf Koordinaten, dass die Summe von zwei konstruierbaren komplexen Zahlen wieder konstruierbar ist.
Es sei eine konstruierbare Zahl und eine konstruierbare positive reelle Zahl. Zeige, dass dann auch der Kreis mit Mittelpunkt und Radius konstruierbar ist.
Betrachte ein DinA4-Blatt. Ist das Seitenverhältnis aus langer und kurzer Seitenlänge eine konstruierbare Zahl?
Betrachte die Tastatur eines Klaviers. Ist das Schwingungsverhältnis von zwei nebeneinander liegendenTasten (bei „gleichstufiger Stimmung“) eine konstruierbare Zahl?
Zeige, dass es kein nichtausgeartetes gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.
Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
konstruierbar ist.
Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen und die Potenz nicht konstruierbar sein muss.
Zeige, dass es Geraden gibt, auf denen es keinen konstruierbaren Punkt gibt.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Kreis und ein Punkt außerhalb des Kreises gegeben. Konstruiere eine der Tangenten an den Kreis, die durch läuft.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass man zu einem gegebenen Dreieck mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches gleichseitiges Dreieck konstruieren kann.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien und zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand konstruierbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es seien drei konstruierbare Punkte derart, dass die Abstände und gleich sind und dass der Winkel zwischen den dadurch definierten Halbgeraden Grad beträgt. Zeige, dass es dann eine affin-lineare Abbildung
gibt, die auf , auf und auf schickt, und die konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die komplexe Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn und konstruierbar sind.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise auf zwei verschiedene Arten, dass die komplexe Quadratwurzel einer konstruierbaren komplexen Zahl wieder konstruierbar ist.