Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 5/latex
\setcounter{section}{5}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{q,d,s \in \N}{} mit
\mathl{d \geq 1}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{qd+s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Rest von $n$ bei Division durch $d$ gleich dem Rest von $s$ bei Division durch $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $d$ eine positive natürliche Zahl. Es seien $a,b$ natürliche Zahlen und es seien
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {}
die Reste von $a$ bzw. $b$ bei Division durch $d$. Zeige, dass der Rest von
\mathl{a+b}{} bei Division durch $d$ gleich dem Rest von
\mathl{r+s}{} bei Division durch $d$ ist. Formuliere und beweise die entsprechende Aussage für die Multiplikation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathbed {a,d \in \N} {}
{d \geq 1} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$
\zusatzklammer {also \mathlk{a^0,a^1,a^2, \ldots}{}} {} {}
schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ < }{ j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass sich die Reste von
\mathl{a^i,a^{i+1},a^{i+2} , \ldots ,a^{j-2}, a^{j-1}}{} bei den folgenden Potenzen periodisch
\zusatzklammer {oder \anfuehrung{zyklisch}{}} {} {}
wiederholen
\zusatzklammer {insbesondere besitzen also
\mathl{a^i}{} und $a^j$ den gleichen Rest} {} {.}
Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
anfangen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(2-i)X^5+(3+i)X^3+(3-i)X-2i} {und} {T=iX^2+5X+6-2i} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{P \in K[X],\, P \neq 0,}{} eine Produktzerlegung
\mathdisp {P= (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q} { }
mit
\mathl{\mu_j \geq 1}{} und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und seien
\mathl{P,T \in K[X]}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{.}
Zeige, dass es für die
\definitionsverweis {Division mit Rest}{}{}
\anfuehrung{$P$ durch $T$}{} unerheblich ist, ob man sie in
\mathl{K[X]}{} oder in
\mathl{L[X]}{} durchführt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{Primfaktorzerlegung haben wir noch nicht begrifflich eingeführt. Gemeint ist eine faktorielle Zerlegung, die man nicht weiter aufspalten kann.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Koeffizienten und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{}
$\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{}
mit euklidischer Funktion $\delta$. Zeige, dass ein Element
\mathl{f \in R}{} (
\mathl{f \neq 0}{}) mit
\mathl{\delta(f)=0}{} eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=5X^4+3X^3+5X^2+3X+6} {und} {T=3X^2+6X+4} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^4-1} { }
und gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {Tipp: Man führe Induktion über den Grad und verwende
den Fundamentalsatz der Algebra,
Aufgabe 5.12
und
Aufgabe 5.9}