Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Vorlesung 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Hauptidealbereiche}
Die Summe von Hauptidealen und der Durchschnitt von Hauptidealen ist wieder ein Ideal, aber im Allgemeinen kein Hauptideal. Damit hängt zusammen, dass weder ein größter gemeinsamer Teiler noch ein kleinstes gemeinsames Vielfaches von Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
existieren muss. Eine besondere Situation liegt daher vor, wenn überhaupt jedes Ideal ein Hauptideal ist. Dies trifft auf $\Z$ und auf
\mathl{K[X]}{}
\zusatzklammer {$K$ ein Körper} {} {}
zu.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} in dem jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist, heißt \definitionswort {Hauptidealring}{.} Ein \definitionsverweis {integrer}{}{} Hauptidealring heißt \definitionswort {Hauptidealbereich}{.}
}
\zwischenueberschrift{Euklidische Bereiche sind Hauptidealbereiche}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt}
{Satz}
{}
{
Ein \definitionsverweis {euklidischer Bereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal. Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \delta(a) \mid a \in I , \, a \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum $m$, das von einem Element
\mathl{b \in I, \, b \neq 0}{,} herrührt, sagen wir
\mathl{m= \delta(b)}{.} Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dabei ist die Inklusion \anfuehrung{$\supseteq$}{} klar. Zum Beweis der Inklusion \anfuehrung{$\subseteq$}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund der Definition eines euklidischen Bereiches gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{qb+r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(r)
}
{ < }{ \delta (b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von $\delta(b)$ kann der zweite Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $a$ ist ein Vielfaches von $b$.
Die beiden folgenden Sätze folgen direkt aus
Satz 8.2,
da sowohl
\mathkor {} {\Z} {als auch} {K[X]} {}
euklidische Bereiche sind. Wir geben zusätzlich noch jeweils einen spezifischen Beweis an.
\inputfaktbeweis
{Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,}
herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Aufgrund
von Satz 5.3
gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F)
\text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.
\inputfaktbeweis
{Z ist Hauptidealbereich/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Der Ring $\Z$ der ganzen Zahlen}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zunächst ist $\Z$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ \subseteq }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{.}
Damit ist $I$ insbesondere eine
\zusatzklammer {additive} {} {}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $\Z$ und hat nach
Satz 5.2
die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ \Z d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit handelt es sich um ein Hauptideal.
\zwischenueberschrift{Teilbarkeitslehre in Hauptidealbereichen}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Lemma von Bezout} {.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gilt:}
\faktfolgerung {Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1 , \ldots , r_n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r_1a_1+r_2a_2 + \cdots + r_na_n
}
{ = }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} eine Darstellung der $1$.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass $d$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{} ist. Die Inklusionen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_i)
}
{ \subseteq }{ I
}
{ = }{ (d)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen, dass es sich um einen
\definitionsverweis {gemeinsamen Teiler}{}{}
handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der
\mathl{a_1 , \ldots , a_n}{.} Dann ist wieder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (d)
}
{ = }{ I
}
{ \subseteq }{(e)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wiederum
\mathl{e {{|}} d}{} bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im teilerfremden Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die folgende Kurzform wird auch oft als \stichwort {Lemma von Bezout} {} bezeichnet.
{Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}}
\faktvoraussetzung {und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Elemente.}
\faktfolgerung {Dann kann man die $1$ als Linearkombination von
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra+sb
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{Dies folgt direkt aus
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Lemma von Euklid} {.}
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $a$ und $b$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
}
{
Da
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
teilerfremd sind, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc
}
{ = }{da
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {c1
}
{ =} {c(ra+sb)
}
{ =} {cra +csb
}
{ =} {acr +ads
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
\inputfaktbeweis
{Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach
Lemma 6.7
stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $ab$ teilt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{pc
}
{ = }{ab
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p)
}
{ \subset }{ (p,a)
}
{ = }{(d)
}
{ \subset }{ R
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach
dem Lemma von Euklid
den anderen Faktor $b$.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
In einem
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
lässt sich jede
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{} Elementen darstellen.
}
{
Angenommen, jede Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ = }{ p_1 \cdots p_k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette
\mathl{a_1 =a, a_2, a_3, \ldots}{,} wobei
\mathl{a_{n+1}}{} ein nicht-trivialer Teiler von $a_n$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a_1)
}
{ \subset} { (a_2)
}
{ \subset} { (a_3)
}
{ \subset} { \cdots
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach
Aufgabe 7.5
ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.
\zwischenueberschrift{Euklidischer Algorithmus}
\inputdefinition
{}
{
Es seien Elemente
\mathl{a,b}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{b \neq 0}{}} {} {}
eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereichs}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen
\mathl{r_0= a}{} und
\mathl{r_1= b}{} und die mittels der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die \definitionswort {Folge der euklidischen Reste}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Algorithmus (Bereiche)/ggT/Invarianz/Fakt}
{Satz}
{}
{
Es seien zwei Elemente
\mathl{r_0= a, r_1= b \neq 0}{} eines
\definitionsverweis {euklidischen Bereiches}{}{}
$R$ mit euklidischer Funktion $\delta$ gegeben. Dann besitzt die Folge $r_i$,
\mathl{i=0,1,2, \ldots}{,} der
\definitionsverweis {euklidischen Reste}{}{}
folgende Eigenschaften.
\aufzaehlungvier{Es ist
\mathl{r_{i+2} =0 \text{ oder } \delta(r_{i+2}) < \delta(r_{i+1})}{.}
}{Es gibt ein
\zusatzklammer {minimales} {} {}
\mathl{k \geq 2}{} mit
\mathl{r_k= 0}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (r_{i+1},r_{i})
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{i},r_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mathl{k \geq 2}{} der erste Index derart, dass
\mathl{r_k= 0}{} ist. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} {r_{k-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungvier{Dies folgt unmittelbar aus der Definition der Division mit Rest.
}{Solange
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wird die Folge der natürlichen Zahlen
\mathl{\delta(r_i)}{} immer kleiner, sodass irgendwann der Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eintreten muss.
}{Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i+2}$ ist, so zeigt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass $t$ auch ein Teiler von $r_i$ und damit ein gemeinsamer Teiler von
\mathl{r_{i+1}}{} und von $r_{i}$ ist. Die Umkehrung folgt genauso.
}{Dies folgt aus (3) mit der Gleichungskette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} (a,b)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (b,r_2)
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_2,r_3)
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-2},r_{k-1} )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},r_{k} )
}
{ =} { \operatorname{ggT} (r_{k-1},0)
}
{ =} { r_{k-1}
}
{ } {}
}{}{.}
}
Mit dem euklidischen Algorithmus berechnet man also einen größten gemeinsamen Teiler. Indem man die im Algorithmus auftretenden Gleichungen von hinten nach vorne verwendet, erhält man auch eine Darstellung eines größten gemeinsamen Teilers als Linearkombination von
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}