Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
Die folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf den Chinesischen Restsatz für den Polynomring $K[X]$.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Schreibe den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Q[X]/(X^4-1)$ als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper $\Q$ und $\Q[ { \mathrm i} ]$ vorkommen. Schreibe die Restklasse von $X^3+X$ als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Realisiere den
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathdisp {\R \times \R \times \R \times \R \times {\mathbb C} \times {\mathbb C} \times {\mathbb C}} { }
als einen
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
von
\mathl{\R[X]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es seien $a_1, \ldots ,a_n \in K$ verschiedene Elemente und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-a_1){ \cdots }(X-a_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Produkt der zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Polynome}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$K[X]/(F)$
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zum
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
$K^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
zu einem Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Struktur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[X]/(F)
}
{ \cong} { K[T]/(T^{n_1}) \times \cdots \times K[T]/(T^{n_r})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt. Zeige, dass dabei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (F)
}
{ =} { n_1 + \cdots + n_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mathl{X^3-7X^2+3X-21}{} besitzt in $\R[X]$ die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-7X^2+3X-21
}
{ =} { (X-7)(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in irreduzible Faktoren und daher gilt die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R[X]/(X^3-7X^2+3X-21)
}
{ \cong} { \R[X]/ (X-7) \times \R[X]/(X^2+3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(1,0)}{} entspricht.
a) Bestimme das Polynom kleinsten Grades, das rechts dem Element
\mathl{(0,1)}{} entspricht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
von der
\definitionsverweis {projektiven Geraden}{}{}
in sich festlegen
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b), (c,d)
}
{ \in }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{Der induzierte Morphismus im Sinne von
Satz 12.11 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020))
zum homogenen Ringhomomorphismus
\maabb {} {K[X,Y]} { K[S,T]
} {}
mit
\mathl{X \mapsto aS+bT}{,}
\mathl{Y \mapsto cS+dT}{.}
}{Der Morphismus zu den beiden Schnitten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{as+bt, cs+dt
}
{ \in }{ \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1) \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Sinne von
Lemma 28.1 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)).
}{Der Morphismus im Sinne von
Lemma 7.13
zur rationalen Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ as+bt }{ cs+dt } }
}
{ \in }{ K { \left( { \frac{ s }{ t } } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ eine
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {glatte}{}{}
\definitionsverweis {projektive Kurve}{}{}
mit
\definitionsverweis {Funktionenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(C)
}
{ = }{
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{ Q(C)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zugehörigem Morphismus
\maabbdisp {q} {C } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabbdisp {\theta} { {\mathbb P}^{1}_{K}} { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}C & \stackrel{ q }{\longrightarrow} & {\mathbb P}^{1}_{K} & \\ & \!\!\! \!\! q-a \searrow & \downarrow \theta \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb P}^{1}_{K} & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.
}
{} {}
Zu einem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
zwischen
\definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{}
und einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\mathl{(S/ {\mathfrak q}S )_{\varphi (R \setminus {\mathfrak q} ) }}{} den
\definitionswort {Faserring}{}
über ${\mathfrak q}$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\maabbeledisp {} {K[Y]} {K[X] \cong K[Y][X]/(Y-X^n)
} {Y} {X^n
} {,}
die $n$-te Potenzabbildung. Bestimme zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
über $(Y-b)$. Wann sind alle Primfaktoren von $X^n-b$ einfach?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Faser zum Morphismus
\maabbeledisp {} { V(Y^2-X^3+3X+2)} { {\mathbb A}^{1}_{ {\mathbb C} }
} { (x,y)} {x
} {,}
für die Punkte
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass durch
\maabbeledisp {\varphi} {V(Z^2+W^2-1)} { V(X^2+Y^2-1)
} {(Z,W)} { ( Z^2 - W^2 , 2ZW ) = (X,Y)
} {.}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt
\mathl{P \in V(X^2+Y^2-1)}{} aus zwei Punkten besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine endlichdimensionale, \definitionsverweis {reduzierte}{}{} $K$-Algebra. Zeige, dass dann $A$ ein endliches direktes Produkt von endlichen Körpererweiterungen von $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Faserring}{}{}
\zusatzklammer {einschließlich der Produktzerlegung} {} {}
zum
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbeledisp {} { V(Y^2-X^3+3X+2)} { {\mathbb A}^{1}_{ {\mathbb C} }
} { (x,y)} {x
} {,}
für die Punkte
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere die Ausnahmen für die Gradbedingung im Beweis zu
Lemma 13.3
an den Beispielen
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x+1 }{ x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 3x^2+5x-3 }{ 4x^2-x+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x }{ x^2-5 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {C} {und} {D} {}
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {glatte Kurven}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und sei
\maabbdisp {\varphi} {C} {D
} {}
eine nichtkonstante
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(Q)
}
{ = }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Verz} { \left( Q {{|}} P \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( {\mathcal O}_{C,Q} / {\mathfrak m}_P {\mathcal O}_{C,Q} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$, die affin durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} { { \left( X- \lambda_1 \right) } { \left( X- \lambda_2 \right) } { \left( X- \lambda_3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass unter der durch $X$ gegebenen Projektion auf die projektive Gerade genau in den Punkten
\mathl{{\mathfrak O },\, \left( \lambda_1 , \, 0 \right),\, \left( \lambda_2 , \, 0 \right) ,\, \left( \lambda_3 , \, 0 \right)}{}
\definitionsverweis {Verzweigung}{}{}
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endliche Erweiterungen}{}{}
von
\definitionsverweis {Dedekindbereichen}{}{.}
Es sei ${\mathfrak p}$ ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
von $R$, das in $S$
\definitionsverweis {verzweigt}{}{.}
Zeige, dass dann ${\mathfrak p}$ auch in $T$ verzweigt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{ B^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
und sei $X^n-u$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in $B[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { B[X]/ { \left( X^n-u \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist, falls $n$ eine Einheit in $B$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $B$ ein
\definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{,}
in dem $2$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
sei, und sei $p$ eine
\definitionsverweis {Ortsuniformisierende}{}{}
von $B$. Bestimme, für welche $m$ der Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} {B[X]/ { \left( X^2-p^m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
ist.
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} heißt \definitionswort {separabel}{,} wenn es über keinem
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mehrfache Nullstellen besitzt.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{$P$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{Es gibt eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ sind
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ erzeugen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben diskutieren, zunächst auf der Ringebene, wie sich Körperautomorphismen einer Körpererweiterung des Grundkörpers auf Varietäten auswirken.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {L[X]} {L[X] } {\sum_{i = 0}^n a_iX^i } {\sum_{i = 0}^n \varphi(a_i)X^i } {,} ein \definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{} des Polynomrings $L[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{}
\maabb {} {L[X]} {L[X]
} {}
aus
Aufgabe 13.21
ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{,}
aber im Allgemeinen kein $L$-Algebraautomorphismus von $L[X]$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n ]/ {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_L
}
{ =} { R \otimes_{ K } L
}
{ \cong} { L [X_1 , \ldots , X_n ]/ {\mathfrak a} L [X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die entsprechende $L$-Algebra.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch $\operatorname{Id}_{ R } \otimes \varphi$ ein
\definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{}
auf $R_L$ gegeben ist.
}{Zeige, dass die Abbildung aus (1) ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
ist, aber im Allgemeinen kein $L$-Algebraautomorphismus.
}{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K[T]/(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(T)
}
{ = }{ P
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_L
}
{ \cong} { K[T,X_1 , \ldots , X_n ]/(G, {\mathfrak a} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dass die Abbildung aus (1) der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
zu $T \mapsto P, X_i \mapsto X_i$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_L
}
{ = }{ L [X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir bezeichnen
\maabbdisp {\operatorname{Id}_{ R } \otimes \varphi} { R_L} { R_L
} {}
einfach mit $\varphi$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (X- a_1 , \ldots , X-a_n)
}
{ =} { (X- \varphi^{-1}(a_1) , \ldots , X-\varphi^{-1}(a_n ))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ L^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Die vorstehende Aufgabe bedeutet, dass unter $\varphi$
$L$-\definitionsverweis {Punktideale}{}{}
in natürlicher Weise auf Punktideale abgebildet werden. Die entsprechende Abbildung auf dem affinen Raum über $L$ wird mit $\varphi^*$ bezeichnet, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^*(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ =} { ( \varphi^{-1} (a_1) , \ldots , \varphi^{-1} (a_n))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_L
}
{ = }{ L [X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört der
\definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { R_L} { R_L
} {}
und
\maabb {\varphi^*} { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } }
} {,}
vergleiche
Aufgabe 13.24.
Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ L^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann zu $K^n$ gehört, wenn er unter allen $\varphi^*$ zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf sich selbst abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
ein
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.}
Es sei
\maabb {\varphi} { L [X_1 , \ldots , X_n ] } { L [X_1 , \ldots , X_n ]
} {}
der zugehörige
\definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{}
und
\maabbele {\varphi^*} { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } }
} { (a_1 , \ldots , a_n) } { ( \varphi^{-1} (a_1) , \ldots , \varphi^{-1} (a_n))
} {,}
vergleiche
Aufgabe 13.24.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{L[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ L^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V( \varphi(F))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*(P)
}
{ \in }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{.}
Es sei
\maabbele {\varphi^*} { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ L }^{ n } }
} { (a_1 , \ldots , a_n) } { ( \varphi^{-1} (a_1) , \ldots , \varphi^{-1} (a_n))
} {}
die zugehörige Abbildung. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein über $K$ definiertes Polynom. Zeige, dass mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n)
}
{ \in }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^*(P)
}
{ \in }{ V(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass ein $K$-Automorphismus auf $L$ einen Automorphismus auf einer über $K$ definierten Hyperfläche $V(F)$ induziert. Das gilt allgemeiner für über $K$ definierte Varietäten und auch für über $K$ definierte projektiven Varietäten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ in
\definitionsverweis {kurzer Weierstraßform}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3 +aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
\maabbdisp {\varphi} {L} {L
} {}
ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
und
\maabb {\varphi^*} { E(L)} {E(L)
} {}
die zugehörige Abbildung auf den
$L$-\definitionsverweis {rationalen Punkten}{}{}
der Kurve. Zeige, dass $\varphi^*$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}