Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $C$ eine \definitionsverweis {glatte}{}{} \definitionsverweis {projektive Kurve}{}{} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} $K$ und sei \maabbdisp {\varphi} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} ein nichtkonstanter Morphismus. Zeige, dass die nach Lemma 15.5 induzierte Abbildung \maabbeledisp {\varphi_*} { \operatorname{Div} { \left( C \right) } } { \operatorname{Div} { \left( {\mathbb P}^{1}_{K} \right) } \cong \Z } {D} { \varphi_*D } {,} einfach die \definitionsverweis {Gradabbildung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{ X^3+aX+b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Weierstraßgleichung}{}{}
für eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X)
}
{ \subseteq} { K(E)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
von $Y$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} und \maabbdisp {[n]} {E} {E } {} die Multiplikation mit $n$ auf $E$. Beschreibe die zugehörige Vorschubsabbildung der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) }} {\operatorname{DKG} { \left( E \right) } } {D} { [n]_*D } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige mit Satz 15.8, dass der \definitionsverweis {Endomorphismenring}{}{} einer \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} $E$ die Distributivität erfüllt und somit in der Tat ein Ring ist.
}
{} {}