Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 16/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {separable}{}{} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es auf der projektiven Geraden
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K}}{} außer der Nullform keine globalen \definitionsverweis {Differentialformen}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wie betrachten die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} {V_+(X^3+Y^3+Z^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 3$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ X^2 }{ Y^2 } } d { \frac{ Z }{ X } } \text{ auf } D_+(XY), \, { \frac{ Y^2 }{ Z^2 } } d { \frac{ X }{ Y } } \text{ auf } D_+(YZ) \text{ und } { \frac{ Z^2 }{ X^2 } } d { \frac{ Y }{ Z } } \text{ auf } D_+(XZ), \,} { }
auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve $C$ definieren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Differentialformen}{}{} auf der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^4+Z^4 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Lemma 16.1 über einem Körper der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {globalen Differentialformen}{}{} auf der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3-Y^2Z \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rückzug der \definitionsverweis {Differentialform}{}{} $dx$ unter der Additionsabbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} \cong {\mathbb A}^{1}_{K} \times {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } { (x_1,x_2)} { x_1+x_2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den Rückzug der \definitionsverweis {Differentialform}{}{} $dx$ unter der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {} { { \left( {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} \right) } \times { \left( {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} } { (x_1,x_2)} { x_1 \cdot x_2 } {.}

}
{} {}