Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Omega_{ L {{|}} K }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf der projektiven Geraden
\mathl{{\mathbb P}^{1}_{K}}{} außer der Nullform keine globalen
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie betrachten die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {V_+(X^3+Y^3+Z^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 3$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Differentialformen}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ X^2 }{ Y^2 } } d { \frac{ Z }{ X } } \text{ auf } D_+(XY), \, { \frac{ Y^2 }{ Z^2 } } d { \frac{ X }{ Y } } \text{ auf } D_+(YZ) \text{ und } { \frac{ Z^2 }{ X^2 } } d { \frac{ Y }{ Z } } \text{ auf } D_+(XZ), \,} { }
auf den Durchschnitten übereinstimmen und daher eine nichttriviale Differentialform auf der Kurve $C$ definieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {globalen Differentialformen}{}{}
auf der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+Y^4+Z^4 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
Lemma 16.1
über einem Körper der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {globalen Differentialformen}{}{}
auf der Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3-Y^2Z \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{K}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rückzug der \definitionsverweis {Differentialform}{}{} $dx$ unter der Additionsabbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} \cong {\mathbb A}^{1}_{K} \times {\mathbb A}^{1}_{K} } { {\mathbb A}^{1}_{K} } { (x_1,x_2)} { x_1+x_2 } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rückzug der \definitionsverweis {Differentialform}{}{} $dx$ unter der Multiplikationsabbildung \maabbeledisp {} { { \left( {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} \right) } \times { \left( {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} \right) } } { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\} } { (x_1,x_2)} { x_1 \cdot x_2 } {.}
}
{} {}