Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 17/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise für die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} den Satz von Riemann-Roch direkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle \definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ \defeq} {\langle s,t \rangle }
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (1) \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Fixierung eines \definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{} von $L$ aus drei Elementen \zusatzklammer {bis auf Streckung} {} {} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle \definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ \defeq} {\langle s^2,st,t^2 \rangle }
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (2) \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Fixierung einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ \zusatzklammer {bis auf Streckung} {} {} einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {projektive Gerade}{}{} ${\mathbb P}^{1}_{K}$ und das volle \definitionsverweis {lineare System}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ \defeq} {\langle s^3,s^2t,st^2, t^3 \rangle }
{ =} { \Gamma { \left( {\mathbb P}^{1}_{K}, {\mathcal O}_{ {\mathbb P}^{1}_{K} } (3) \right) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die zugehörige Abbildung \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { {\mathbb P}^{3}_{K} } {} einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.

}
{} {}