Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 17

Aufgaben

Aufgabe

Beweise für die projektive Gerade den Satz von Riemann-Roch direkt.

Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System

${}L:=\langle s,t\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}\,.$

Zeige, dass die Fixierung eines Erzeugendensystems von ${}L$ aus drei Elementen (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene als Gerade entspricht. Wie kann man dabei die Bildgerade beschreiben?

Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System

${}L:=\langle s^{2},st,t^{2}\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}\,.$

Zeige, dass die Fixierung einer Basis von ${}L$ (bis auf Streckung) einer Einbettung der projektiven Geraden in die projektive Ebene entspricht. Wie kann man dabei die Bildkurve beschreiben?

Aufgabe

Wir betrachten die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}$ und das volle lineare System

${}L:=\langle s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\rangle =\Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(3)\right)}\,.$

Zeige, dass die zugehörige Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{3}$

einer Einbettung der projektiven Geraden in den projektiven Raum ergibt. Man gebe möglichst viele Gleichungen an, die die Bildkurve erfüllt.