Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 25/latex

\setcounter{section}{25}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Reduktionen modulo $5$. \aufzaehlungsechs{
\mathl{\left( 7 , \, 6 , \, 11 \right)}{,} }{
\mathl{\left( 5 , \, 5 , \, 5 \right)}{,} }{
\mathl{\left( 4 , \, 5 , \, 6 \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 3 }{ 7 } } , \, { \frac{ 2 }{ 9 } } , \, { \frac{ -8 }{ 11 } } \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 4 }{ 25 } } , \, { \frac{ 5 }{ 9 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 1 }{ 25 } } , \, { \frac{ 1 }{ 5 } } , \, { \frac{ 1 }{ 125 } } \right)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q[ { \mathrm i} ]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(3)$ \zusatzklammer {mit dem \definitionsverweis {Restekörper}{}{} \mathlk{\Z/(3)[{ \mathrm i} ]}{}} {} {} \aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 3- { \mathrm i} , \, 2+5 { \mathrm i} , \, 1+3 { \mathrm i} \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 2+8 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 4-7 { \mathrm i} }{ 15 } } , \, { \frac{ 12+5 { \mathrm i} }{ 9 } } \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 9 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } , \, { \frac{ 7-11 { \mathrm i} }{ 3 } } \right)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q[ { \mathrm i} ]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(5, { \mathrm i} -3 )$ \zusatzklammer {mit dem \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $\Z/(5)$} {} {} \aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 3- { \mathrm i} , \, 2+5 { \mathrm i} , \, 1+3 { \mathrm i} \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 2+8 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 4-7 { \mathrm i} }{ 15 } } , \, { \frac{ 12+5 { \mathrm i} }{ 9 } } \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ 9 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } , \, { \frac{ 7-11 { \mathrm i} }{ 3 } } \right)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\R(t)} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Reduktionen modulo $t \mapsto 3$ und
\mathl{t \mapsto { \mathrm i}}{.} \aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 5 , \, -7 , \, -3 \right)}{,} }{
\mathl{\left( t-3 , \, t^2 , \, 2 \right)}{,} }{
\mathl{\left( { \frac{ t^2-1 }{ t^2 } } , \, { \frac{ t }{ t^4-5 } } , \, { \frac{ t^3 +t+2 }{ t } } \right)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} von $R$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ R/ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Reduktion \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{Q} } { {\mathbb P}^{n}_{K} } {} aus Lemma 25.1 surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} von $R$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ R/ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Reduktion \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{Q} } { {\mathbb P}^{n}_{K} } {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} aus Lemma 25.1 nicht injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer unendlichen Punktmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{1}_{\Q} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} deren Reduktion modulo $p$ für jede Primzahl genau aus $p$ Elementen besteht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ \Z[ \sqrt{-5} ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-5} }
{ = }{ \sqrt{5} { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es für den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( 2 , \, 1+\sqrt{-5} \right) }
{ \in} { {\mathbb P}^{1}_{Q(R)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} keine Repräsentierung in $R$ gibt, mit der man sämtliche Reduktionen zu allen maximalen Idealen aus $R$ durch komponentenweise Reduktion ausrechnen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe die Details der Überlegungen aus Beispiel 25.3 für Beispiel 2.8 aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} von $R$ mit \definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ R/ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Begründe, dass es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} keine sinnvolle Reduktion \maabbdisp {} { { {\mathbb A}_{ Q }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } {} \zusatzklammer {ähnlich wie in Lemma 25.1} {} {} geben kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^3+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} die Reduktionen für die Punktemenge
\mathdisp {{\mathfrak O } ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3)} { }
für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{2,3,5,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2 }
{ = }{ x^3-x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} die Reduktionen für die Punktemenge
\mathdisp {(0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {\mathfrak O }} { }
für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p }
{ = }{2,3,5,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ über $\Q$ die Reduktionsabbildung \maabbdisp {} { E(\Q) } { E( \Z/(p) ) } {} im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[t] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} in einer Variablen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K(t) }
{ = }{ Q(K[t]) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.} Wir betrachten die \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ über $K(t)$, die in \definitionsverweis {Legendrescher Normalform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2 }
{ =} { x(x-1)(x- t) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sei. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass man jede elliptische Kurve über $K$ in Legendrescher Normalform als Reduktion von $E$ mittels
\mathl{t \mapsto \lambda}{} im Sinne von Korollar 25.5 erhalten kann. }{Für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Reduktion keine elliptische Kurve? }{Welche $K(t)$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{} von $E$ gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{Q(R) }
{ = }{ K(X,Y) }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (X,Y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restekörper}{}{} $K$. Zeige, dass es keine Reduktion \maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{Q} } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} \zusatzklammer {ähnlich wie in Lemma 25.1} {} {} geben kann.

}
{} {Argumentiere mit dem projektiven Punkt
\mathl{(X,Y)}{.}}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{\Q}}{} die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1 }
{ = }{ \left( 4 , \, 3 , \, 5 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2 }
{ = }{ \left( 6 , \, 6 , \, 6 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_3 }
{ = }{ \left( 1 , \, 3 , \, 5 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{\Q}}{} die endliche Punktemenge, die aus den vier Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1 }
{ = }{ \left( 4 , \, 0 , \, 5 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2 }
{ = }{ \left( 5 , \, 6 , \, 6 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_3 }
{ = }{ \left( 2 , \, 1 , \, 1 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_4 }
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus vier Punkten?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {X^3+16 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^2 +V }
{ =} {U^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die nach Aufgabe 5.9 die gleiche \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Q$ definieren, jeweils die Primzahlen $p$, für die die Kurve über $\Z/(p)$ \definitionsverweis {glatt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {X^3 + { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Q[ { \mathrm i} ]$ und über $\Z[ { \mathrm i} ]$. \aufzaehlungfuenf{Bestimme die \definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{} zur Ordnung $2$ von $E(\Q[ { \mathrm i} ])$. }{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( {\mathbb C} )$. }{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( \Z/(5) )$, wobei der Reduktionshomomorphismus \maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { \Z/(5) } { { \mathrm i} } { 2 } {,} zugrunde liegt. }{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( \Z/(5) )$, wobei der Reduktionshomomorphismus \maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { \Z/(5) } { { \mathrm i} } { 3 } {,} zugrunde liegt. }{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( {\mathbb F}_{ 9 } )$, wobei der Reduktionshomomorphismus \maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { {\mathbb F}_{ 9 } \cong \Z/(3) [ { \mathrm i} ] \cong \Z/(3) [ T ] /(T^2+1) } { { \mathrm i} } { { \mathrm i} } {,} zugrunde liegt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{,} die über $\Z$ definiert sei, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ E(\Q) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\Q$-\definitionsverweis {rationaler Punkt}{}{} von $E$. Zeige, dass $P$ genau dann ein \definitionsverweis {Torsionspunkt}{}{} ist, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass für alle Primzahlen $p$, für die die Reduktion modulo $p$ eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{P} }
{ \in }{ E( \Z/(p) ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $\leq n$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{5,6,7,13,14,15 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} einen Punkt der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{X^3-n^2X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{} an, der kein \definitionsverweis {Torsionspunkt}{}{} ist.

}
{} {}