Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Reduktionen modulo $5$.
\aufzaehlungsechs{
\mathl{\left( 7 , \, 6 , \, 11 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 5 , \, 5 , \, 5 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( 4 , \, 5 , \, 6 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 3 }{ 7 } } , \, { \frac{ 2 }{ 9 } } , \, { \frac{ -8 }{ 11 } } \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 4 }{ 25 } } , \, { \frac{ 5 }{ 9 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 1 }{ 25 } } , \, { \frac{ 1 }{ 5 } } , \, { \frac{ 1 }{ 125 } } \right)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q[ { \mathrm i} ]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(3)$
\zusatzklammer {mit dem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathlk{\Z/(3)[{ \mathrm i} ]}{}} {} {}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 3- { \mathrm i} , \, 2+5 { \mathrm i} , \, 1+3 { \mathrm i} \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 2+8 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 4-7 { \mathrm i} }{ 15 } } , \, { \frac{ 12+5 { \mathrm i} }{ 9 } } \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 9 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } , \, { \frac{ 7-11 { \mathrm i} }{ 3 } } \right)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\Q[ { \mathrm i} ]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Reduktionen modulo dem maximalen Ideal $(5, { \mathrm i} -3 )$
\zusatzklammer {mit dem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
$\Z/(5)$} {} {}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 3- { \mathrm i} , \, 2+5 { \mathrm i} , \, 1+3 { \mathrm i} \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 2+8 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 4-7 { \mathrm i} }{ 15 } } , \, { \frac{ 12+5 { \mathrm i} }{ 9 } } \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ 9 { \mathrm i} }{ 5 } } , \, { \frac{ 3 }{ 5 } } , \, { \frac{ 7-11 { \mathrm i} }{ 3 } } \right)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die folgenden Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ {\mathbb P}^{2}_{\R(t)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Reduktionen modulo $t \mapsto 3$ und
\mathl{t \mapsto { \mathrm i}}{.}
\aufzaehlungdrei{
\mathl{\left( 5 , \, -7 , \, -3 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( t-3 , \, t^2 , \, 2 \right)}{,}
}{
\mathl{\left( { \frac{ t^2-1 }{ t^2 } } , \, { \frac{ t }{ t^4-5 } } , \, { \frac{ t^3 +t+2 }{ t } } \right)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$ mit
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ R/ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Reduktion
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{Q} } { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
aus
Lemma 25.1
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$ mit
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ R/ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Reduktion
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{n}_{Q} } { {\mathbb P}^{n}_{K}
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 25.1
nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer unendlichen Punktmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{1}_{\Q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
deren Reduktion modulo $p$ für jede Primzahl genau aus $p$ Elementen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \Z[ \sqrt{-5} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{-5}
}
{ = }{ \sqrt{5} { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es für den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( 2 , \, 1+\sqrt{-5} \right)
}
{ \in} { {\mathbb P}^{1}_{Q(R)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
keine Repräsentierung in $R$ gibt, mit der man sämtliche Reduktionen zu allen maximalen Idealen aus $R$ durch komponentenweise Reduktion ausrechnen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe die Details der Überlegungen aus Beispiel 25.3 für Beispiel 2.8 aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ${\mathfrak m}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
von $R$ mit
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ R/ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Begründe, dass es bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine sinnvolle Reduktion
\maabbdisp {} { { {\mathbb A}_{ Q }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {}
\zusatzklammer {ähnlich wie in
Lemma 25.1} {} {}
geben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^3+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
die Reduktionen für die Punktemenge
\mathdisp {{\mathfrak O } ,\,(-1,0) ,\,(0,1) ,\, (0,-1) ,\,(2,3) ,\, (2,-3)} { }
für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2,3,5,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^3-x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
die Reduktionen für die Punktemenge
\mathdisp {(0,0),\, (1,0), \, (-1,0),\, {\mathfrak O }} { }
für die Primzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{2,3,5,7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für welche dieser Primzahlen ist die Reduktion wieder eine elliptische Kurve?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass für eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} $E$ über $\Q$ die Reduktionsabbildung \maabbdisp {} { E(\Q) } { E( \Z/(p) ) } {} im Allgemeinen nicht surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[t]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
in einer Variablen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K(t)
}
{ = }{ Q(K[t])
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
$E$ über $K(t)$, die in
\definitionsverweis {Legendrescher Normalform}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2
}
{ =} { x(x-1)(x- t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sei.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass man jede elliptische Kurve über $K$ in Legendrescher Normalform als Reduktion von $E$ mittels
\mathl{t \mapsto \lambda}{} im Sinne von
Korollar 25.5
erhalten kann.
}{Für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Reduktion keine elliptische Kurve?
}{Welche
$K(t)$-\definitionsverweis {rationalen Punkte}{}{}
von $E$ gibt es und welche Reduktionspunkte definieren sie?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{Q(R)
}
{ = }{ K(X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
$K$. Zeige, dass es keine Reduktion
\maabbdisp {} { {\mathbb P}^{1}_{Q} } { {\mathbb P}^{1}_{K}
} {}
\zusatzklammer {ähnlich wie in
Lemma 25.1} {} {}
geben kann.
}
{} {Argumentiere mit dem projektiven Punkt
\mathl{(X,Y)}{.}}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{\Q}}{} die endliche Punktemenge, die aus den drei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1
}
{ = }{ \left( 4 , \, 3 , \, 5 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2
}
{ = }{ \left( 6 , \, 6 , \, 6 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_3
}
{ = }{ \left( 1 , \, 3 , \, 5 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus drei Punkten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten in
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{\Q}}{} die endliche Punktemenge, die aus den vier Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1
}
{ = }{ \left( 4 , \, 0 , \, 5 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2
}
{ = }{ \left( 5 , \, 6 , \, 6 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_3
}
{ = }{ \left( 2 , \, 1 , \, 1 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_4
}
{ = }{ \left( 1 , \, 0 , \, 0 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht. Für welche Primzahlen $p$ besteht die Reduktion dieser Punktemenge ebenfalls aus vier Punkten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3+16
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^2 +V
}
{ =} {U^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die nach
Aufgabe 5.9
die gleiche
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q$ definieren, jeweils die Primzahlen $p$, für die die Kurve über $\Z/(p)$
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ =} {X^3 + { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{}
über $\Q[ { \mathrm i} ]$ und über $\Z[ { \mathrm i} ]$.
\aufzaehlungfuenf{Bestimme die
\definitionsverweis {Torsionsuntergruppe}{}{}
zur Ordnung $2$ von $E(\Q[ { \mathrm i} ])$.
}{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( {\mathbb C} )$.
}{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( \Z/(5) )$, wobei
der Reduktionshomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { \Z/(5)
} { { \mathrm i} } { 2
} {,}
zugrunde liegt.
}{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( \Z/(5) )$, wobei
der Reduktionshomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { \Z/(5)
} { { \mathrm i} } { 3
} {,}
zugrunde liegt.
}{Bestimme die Torsionsuntergruppe zur Ordnung $2$ von $E( {\mathbb F}_{ 9 } )$, wobei
der Reduktionshomomorphismus
\maabbeledisp {} {\Z[ { \mathrm i} ]} { {\mathbb F}_{ 9 } \cong \Z/(3) [ { \mathrm i} ] \cong \Z/(3) [ T ] /(T^2+1)
} { { \mathrm i} } { { \mathrm i}
} {,}
zugrunde liegt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ eine
\definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{,}
die über $\Z$ definiert sei, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ E(\Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Q$-\definitionsverweis {rationaler Punkt}{}{}
von $E$. Zeige, dass $P$ genau dann ein
\definitionsverweis {Torsionspunkt}{}{}
ist, wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass für alle Primzahlen $p$, für die die Reduktion modulo $p$ eine elliptische Kurve ist, der zugehörige Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{P}
}
{ \in }{ E( \Z/(p) )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$\leq n$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{5,6,7,13,14,15
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen Punkt der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2
}
{ = }{X^3-n^2X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{}
an, der kein
\definitionsverweis {Torsionspunkt}{}{}
ist.
}
{} {}