Projektive Varietät/Eindimensionaler Ring/Rationale Punkte/Keine Fortsetzung/Beispiel

Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn ${}R$ ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist. Wenn ${}R\rightarrow S$ die Normalisierung ist und über dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$ zwei maximale Ideale ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\subseteq S$ liegen (siehe Beispiel für ein konkretes Beispiel), mit ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\notin {\mathfrak {q}}$ und ${}f=a/b\in S$ mit ${}a,b\in R$, so kann man den rationalen Punkt ${}\left(a,\,b\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}$ betrachten. Aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{Q(S)}^{1}$ ist ${}\left(a,\,b\right)=\left(f,\,1\right)$, mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in ${}{\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {p}}}^{1}$ und in ${}{\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {q}}}^{1}$. Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von ${}f$ gleich ${}0$, im zweiten Fall ${}\neq 0$, und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach ${}{\mathbb {P} }_{R/{\mathfrak {m}}}^{1}$ geben.