Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element, das keine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} in $R$ besitze. Zeige, dass das \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^2 -r }
{ \in }{ R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass ein Polynom der Form
\mathdisp {Y^2+rY+s -X^3-aX^2-bX-c} { }
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{r,s,a,b,c }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in
\mathl{K[X,Y]}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die beiden affinen Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {X^3+16 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V^2 +V }
{ =} {U^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die nach Aufgabe 5.9 die gleiche \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Q$ definieren, den \definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{} für die Primzahlen $p$ mit \definitionsverweis {schlechter Reduktion}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{p_1 , \ldots , p_n}{} endlich viele \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Bestimme für jede Primzahl den \definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{} der \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{,} die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{X^3- p_1 \cdots p_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} {(X-a)(X-b)(X-c) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verschieden gegeben und sei $E$ die zugehörige \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{$E$ besitzt modulo einer \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ genau dann \definitionsverweis {schlechte Reduktion}{}{,} wenn $p$ ein Teiler des Produktes
\mathl{(a-b)(a-c)(b-c)}{} ist. }{$E$ besitzt modulo $p$ genau dann \definitionsverweis {additive Reduktion}{}{,} wenn $p$ ein \definitionsverweis {gemeinsamer Teiler}{}{} von
\mathl{a-b,a-c,b-c}{} ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $p$ ein gemeinsamer Teiler von zwei Differenzen ist. }{Es tritt genau dann gar keine additive Reduktion auf, wenn
\mathl{a-b,a-c,b-c}{} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn zwei dieser Differenzen teilerfremd sind. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme für jede Primzahl den \definitionsverweis {Reduktionstyp}{}{} der \definitionsverweis {elliptischen Kurve}{}{,} die durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ = }{X^3- 2X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} { X^3+2X-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über verschiedenen Körpern $K$. \aufzaehlungfuenf{Zerlege das Polynom $X^3+2X-3$ in $\Q[X]$ in irreduzible Faktoren. }{Skizziere den reellen Verlauf der Kurve. }{Zerlege das Polynom $X^3+2X-3$ in ${\mathbb C} [X]$ in irreduzible Faktoren. }{Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\Z/(p)$ ergibt. }{Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 }
{ =} { X^3+3X-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über verschiedenen Körpern $K$. \aufzaehlungfuenf{Zerlege das Polynom $X^3+3X-4$ in $\Q[X]$ in irreduzible Faktoren. }{Skizziere den reellen Verlauf der Kurve. }{Zerlege das Polynom $X^3+3X-4$ in ${\mathbb C} [X]$ in irreduzible Faktoren. }{Bestimme, für welche Primzahlen $p$ sich keine elliptische Kurve über $\Z/(p)$ ergibt. }{Bestimme den Reduktionstyp für die Primzahlen mit schlechter Reduktion }

}
{} {}

Die folgenden beiden Aufgaben erläutern, warum man von additiver Reduktion spricht.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( s , \, s^3 \right) ,\, \left( t , \, t^3 \right) ,\, \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right) }
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auf einer Gerade liegen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} { V_+(Y^2Z-X^3) }
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem Körper $K$. \aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (0,0,1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der einzige \definitionsverweis {singuläre Punkt}{}{} der Kurve ist. }{Zeige, dass man auf
\mathl{C \setminus \{P\}}{} wie im elliptischen Fall \zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak O } }
{ = }{(0,1,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als neutralem Element} {} {} eine Gruppenverknüpfung definieren kann. }{Zeige, dass die \definitionsverweis {Normalisierungsabbildung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{K} } { C \subseteq {\mathbb P}^{2}_{K} } { (u,v) } { (u^2v,u^3, v^3) } {,} bijektiv ist. }{Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.9, dass die Normalisierungsabbildung aus (3) eingeschränkt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{1}_{K} }
{ =} { D_+(v) }
{ =} { {\mathbb P}^{1}_{K} \setminus \{ (0,1 )\} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} zwischen \mathkor {} {{\mathbb A}^{1}_{K}} {und} {C \setminus \{P\}} {} definiert, wobei die affine Gerade mit der Addition versehen ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{r+1} }
{ =} { ax_r+ bx_{r-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die dadurch definierte lineare Rekursion. Es sei $c_r$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $c_0,c_1$ und $d_r$ die zugehörige Folge zu den Startwerten $d_0, d_1$. Zeige, dass die Differenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_r }
{ = }{ c_r-d_r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ebenfalls die lineare Rekursion erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $E$ eine \definitionsverweis {elliptische Kurve}{}{} über $\Z$ mit \definitionsverweis {guter Reduktion}{}{} modulo einer Primzahl $p$. Es seien $a_{p^r}$ die in der Definition 26.10 rekursiv definierten Zahlen und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_{p^r} }
{ \defeq} { p^r + 1 - { \# \left( E_p( {\mathbb F}_{ p^r } ) \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Differenzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_r }
{ = }{ b_{p^r}-a_{p^r} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Rekursion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_{r+1} }
{ =} { a_p f_{r} - pf_{r-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Koeffizienten $a_{p^r}$ seien durch die Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p }
{ = }{a_p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch die Rekursionsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{p^{r+1} } }
{ =} { a_p \cdot a_{p^r} - p \cdot a_{p^{r-1} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{p^r} }
{ =} { \begin{cases} 0 \text{ bei } r \text { ungerade} , \\ (-p)^{r/2} \text { bei } r \text { gerade}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

In der folgenden Aufgabe wird eine $L$-Reihe betrachtet, die zu einer elliptischen Kurve gehören würde, die für jede Primzahl gute Reduktion hat und wo stets die Anzahl der $\Z/(p)$-rationalen Punkte gleich $p+1$ ist. Eine solche Kurve gibt es zwar nicht, eine solche $L$-Reihe gibt es natürlich trotzdem.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_p }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle Primzahlen $p$. Wir betrachten die \definitionsverweis {Dirichletreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(s) }
{ =} { \sum a_n n^{-s} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zu \definitionsverweis {multiplikativen}{}{} Koeffizienten $a_n$. Zeige unter Verwendung von Aufgabe 26.13, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(s) }
{ =} { \sum_{k \in \N_+} \lambda (k) k^{1-2s} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda(k) }
{ =} { \begin{cases} 1 ,\text{ falls die Anzahl aller Primfaktoren von } k \text{ gerade ist}, \\ -1 \text{ sonst}, \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ \ell = 0}^\infty (a+bt)^\ell t^\ell }
{ =} { \sum_m c_m t^m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_m }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_0 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_1 }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Rekursionsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{m+1} }
{ =} { a c_m + b c_{m-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es sei vorausgesetzt, dass die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} }}{} leer ist. Zeige, dass dann auch die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32 z^2 = n \right\} }}{} leer ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für die ungeraden quadratfreien \definitionsverweis {kongruenten Zahlen}{}{} $n$ unterhalb von $32$, das sind die Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { 5,7,13, 15,21,23, 29,31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} }}{} leer ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, dass für die ungeraden quadratfreien Zahlen $n$ unterhalb von $32$, die nicht \definitionsverweis {kongruent}{}{} sind, die Anzahlbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( { \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = n \right\} } \right) } }
{ =} { 2 \cdot { \# \left( { \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32 z^2 = n \right\} } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Mengen
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 37 \right\} }}{} und
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 39 \right\} }}{} leer sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 41 \right\} }}{} und ihre Anzahl. } {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 41 \right\} }}{} und ihre Anzahl. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 51 \right\} }}{} und ihre Anzahl. } {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 51 \right\} }}{} und ihre Anzahl. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+32z^2 = 65 \right\} }}{} und ihre Anzahl. } {Bestimme die Menge
\mathl{{ \left\{ (x,y,z) \in \Z^3 \mid 2x^2+y^2+8z^2 = 65 \right\} }}{} und ihre Anzahl. }

}
{} {}